Ipakita na ang equation x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 ay may eksaktong isang solusyon sa [0, 1]?

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Una sa lahat, ipagpalagay natin #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # sa hangganan ng aming domain:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Kung ikukumpara namin ang hinango

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Nakita natin na palaging positibo ito #0,1#. Sa katunayan, # x ^ 2 + 1 # ay palaging positibo, at # 4x # ay maliwanag positibo, dahil # x # ay positibo.

Kaya, ang aming function ay nagsisimula sa ibaba ng # x # axis, dahil #f (0) <0 #, at nagtatapos sa itaas ng # x # axis, dahil #f (1)> 0 #. Ang function ay isang polinomyal, at sa gayon ito ay tuloy-tuloy.

Kung ang tuloy-tuloy na linya ay nagsisimula sa ibaba ng axis at nagwawakas sa itaas, nangangahulugan ito na dapat itong tumawid dito sa pagitan. At ang katunayan na ang hinango ay palaging positibo ay nangangahulugan na ang pag-andar ay laging lumalaki, at sa gayon ay hindi ito makaka-cross sa axis nang dalawang beses, kaya ang patunay.