Tanong # 242a2

Sagot:

Para sa enerhiya na naka-imbak sa kapasitor sa oras # t # meron kami #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # kung saan #E (0) # ay ang unang enerhiya, # C # ang kapasidad at # R # ang paglaban ng kawad na pagkonekta sa dalawang panig ng kapasitor.

Paliwanag:

Suriin muna natin ang ilang mga pangunahing konsepto bago sumagot sa tanong na ito. Siyempre kailangan naming malaman ang enerhiya na naka-imbak sa kapasitor, o sa halip ang enerhiya na naka-imbak sa electric field na nilikha ng singil na naka-imbak sa kapasitor. Para sa mga ito kami ay may formula # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # may # C # ang kapasidad ng kapasitor at # Q # ang singil na nakaimbak sa isa sa mga plate ng capacitors. 1

Kaya upang malaman kung paano bumababa ang enerhiya, kailangan nating malaman kung paano bumababa ang singil. Para sa mga ito ay may ilang mga bagay na dapat nating tandaan. Ang unang bagay ay, ay ang singil ay maaari lamang bawasan kung maaari itong pumunta kahit saan. Ang pinakasimpleng sitwasyon ay ang dalawang plato ay konektado sa pamamagitan ng wire, upang ang mga plates ay maaaring magpalitan ng singil upang sila ay maging neutral. Ang ikalawang bagay ay na kung gusto nating ipagpalagay na ang kawad ay walang pagtutol, ang singil ay magagawang ilipat agad, kaya ang enerhiya ay mahulog sa zero sa rate na rin. Dahil ito ay isang pagbubutas sitwasyon, at bukod sa, hindi tunay makatotohanang, ipinapalagay namin ang wire upang magkaroon ng ilang mga pagtutol # R #, na maaari naming modelo sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga plate ng capacitors sa pamamagitan ng isang risistor na may pagtutol # R # gamit ang mga wire na walang resistensiya.

Ang mayroon tayo ngayon ay isang tinatawag na RC-circuit, na makikita sa ibaba. Upang malaman kung paano nagbabago ang naka-imbak na singil, kailangan naming isulat ang ilang mga kaugalian equation. Hindi ako sigurado kung gaano mahusay ang mambabasa sa math, kaya't ipaalam sa akin kung ang sumusunod na seksyon ay hindi maliwanag sa iyo, at susubukan kong ipaliwanag ito nang mas detalyado.

Una sa lahat namin tandaan na kapag lumakad kami sa kahabaan ng wire, nakakaranas kami ng dalawang jumps electric potensyal (boltahe), lalo sa kapasitor at sa risistor. Ang mga jumps na ito ay ibinigay ng # DeltaV_C = Q / C # at # DeltaV_R = IR # ayon sa pagkakabanggit 1. Namin tandaan na sa simula ay walang kasalukuyang, kaya ang mga potensyal na pagkakaiba sa ibabaw ng risistor ay 0, gayunpaman, tulad ng makikita namin, magkakaroon ng isang kasalukuyang kapag ang mga singil ay nagsisimula upang ilipat. Ngayon tandaan natin na kapag naglalakad kami sa paligid ng circuit simula sa isang punto, muli naming muli ang puntong iyon, dahil kami ay nasa isang circuit. Sa ganitong solong punto ang potensyal ay kapareho ng parehong panahon, dahil ito ay parehong punto. (Kapag sinabi kong lumalakad kami sa circuit, hindi ko ibig sabihin ito literal, sa halip namin siyasatin ang boltahe jumps sa circuit sa isang punto sa oras, kaya walang oras na pumasa kapag naglalakad sa kahabaan ng circuit, kaya ang argumento hold, kahit na ang boltahe ay nagbabago sa oras.)

Nangangahulugan ito na ang kabuuang potensyal na tumalon ay zero. Kaya # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Ngayon, iniisip namin kung ano # Ako #, ang kasalukuyan ay. Kasalukuyang gumagalaw bayad, ito ay tumatagal ng positibong bayad ang layo mula sa isang kapasitor plate at naghahatid ay sa iba pang mga. (Sa katunayan karamihan sa mga oras na ito ay ang iba pang mga paraan sa paligid, ngunit hindi mahalaga para sa matematika ng problemang ito.) Ito ay nangangahulugan na ang kasalukuyang katumbas ng pagbabago sa singil sa plates, sa ibang salita # I = (dQ) / dt #. Ang pagbibigay nito sa equation sa itaas ay nagbibigay sa amin # (dQ) / dtR + Q / C = 0 #, ibig sabihin # (dQ) / dt = -Q / (CR) #. Ito ay isang tinatawag na linear first order differential equation. Ito ay nagpapahiwatig ng pagbabago sa singil sa pamamagitan ng halaga ng singil sa oras na iyon sa isang linear na paraan, ibig sabihin na kung ang singil ay dalawang beses nang malaki, ang pagbabago sa singil ay magiging dalawang beses na malaki rin. Maaari naming malutas ang equation na ito sa pamamagitan ng matalino na paggamit ng calculus.

# (dQ) / dt = -Q / (CR) #, ipinapalagay namin # Qne0 #, na kung saan ito ay hindi sa simula, at bilang ito ay i-out, hindi kailanman ito ay magiging. Gamit ito maaari naming sabihin # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Para malaman # Q # sa isang punto sa oras # t # (sa ibang salita #Q (t) #, isinasama natin ang equation bilang mga sumusunod: # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_0 ^ t-1 / (CR) dt '= - t / (CR) dahil # C # at # R # ay constants. # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable. Ibig sabihin nito #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, kaya #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Sa wakas kailangan naming palitan ito pabalik sa equation para sa enerhiya:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

Kaya ang enerhiya ay bumaba nang lampas sa oras. Talagang nakita natin na kung # R # ay pumunta sa zero, #E (t) # ay pupunta agad sa 0.

1 Griffiths, David J. Panimula sa Electrodynamics. Ikaapat na edisyon. Pearson Education Limited, 2014