Paano naiiba ang trigonometriko pagpapalit mula sa substitution?

Sagot:

Sa pangkalahatan, ang substitution na trig ay ginagamit para sa mga integral ng form # x ^ 2 + -a ^ 2 # o #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, habang # u #-Paggamit ay ginagamit kapag ang isang function at ang hinalaw nito ay lilitaw sa kabuuan.

Paliwanag:

Nakikita ko ang parehong mga uri ng mga pamalit na kaakit-akit dahil sa pangangatuwiran sa likod ng mga ito. Isaalang-alang, una, trig substitution. Nagmumula ito mula sa Pythagorean Theorem at Pythagorean Identities, marahil ang dalawang pinakamahalagang konsepto sa trigonometrya. Ginagamit namin ito kapag mayroon kaming isang bagay tulad ng:

# x ^ 2 + a ^ 2 -> # kung saan # a # ay pare-pareho

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # muli ipagpalagay # a # ay pare-pareho

Maaari naming makita na ang mga ito ng dalawang tumingin awfully gusto # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, na kung saan ay ang Pythagorean teorama. Nauugnay ang dalawang gilid ng isang tamang tatsulok sa hypotenuse ng tatsulok. Kung gagawin natin ito, makikita natin na oo, # x ^ 2 + a ^ 2 # maaaring kinakatawan ng isang tatsulok:

Ang larawan ay lubhang kapaki-pakinabang, sapagkat ito ay nagsasabi sa amin # tantheta = x / a #, o # atantheta = x #; ito ay bumubuo ng batayan ng pagpapalit ng trig. Bukod dito (at ito ay kung saan ito ay makakakuha ng kahanga-hangang), kapag pinalitan mo # x = tantheta # sa # x ^ 2 + a ^ 2 #, natapos mo na ang isang Pitagorean Identity, sa kasong ito # tan ^ 2theta + 1 = sec ^ 2theta #. Pagkatapos ay maaari mong gawin ang ilang simplifying para sa # sec ^ 2theta # kung kailangan mo, at mahalaga ang integral doon. Ang parehong napupunta para sa mga kaso # x ^ 2-a ^ 2 #, # a ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, at #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Maaari mong gamitin ang trig sub. para sa isang mahusay na deal ng mga problema, ngunit maaari mong gamitin # u #-Pagkatapos ay maaaring maging higit pa. Ginagamit namin ang pamamaraan na ito kapag mayroon kaming isang bagay tulad ng # intlnx / xdx #. Kung kami ay mapagmasid, nakikita namin na mayroon kaming dalawang mga pag-andar - # lnx # at # 1 / x #. At kung naaalala natin ang ating pangunahing mga derivatibo, alam natin # d / dxlnx = 1 / x # para sa #x> 0 # (o # d / dxlnabs (x) = 1 / x # para sa #x! = 0 #). Kaya ang ideya ay sabihin natin # u = lnx #; pagkatapos # (du) / dx = 1 / x # at # du = dx / x #. Ang problema, matapos gawin ang mga pamalit na ito, pinapasimple sa # intudu # - isang mas madaling integral kaysa dati.

Habang ang dalawang pamamaraan ay maaaring magkakaiba, pareho silang naglilingkod sa parehong layunin: upang mabawasan ang isang mahalagang bahagi sa isang mas simpleng anyo upang magamit namin ang mga pangunahing pamamaraan. Natitiyak kong hindi sapat ang paliwanag ko upang isama ang lahat ng mga tukoy na detalye tungkol sa mga pamalit na ito, kaya inaanyayahan ko ang iba na mag-ambag.