Paano mo mahanap ang asymptotes para sa y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Sagot:

Vertical

# x = 1 #

# x = 3 #

Pahalang

# x = 1 # (para sa pareho # + - oo #)

Oblique

Hindi umiiral

Paliwanag:

Hayaan # y = f (x) #

• Vertical asymptotes

Hanapin ang mga limitasyon ng function na ito ay may kaugaliang limitasyon ng domain nito maliban sa infinity. Kung ang kanilang resulta ay kawalang-hanggan, kaysa iyon # x # Ang linya ay isang asymptote. Dito, ang domain ay:

#x sa (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, oo) #

Kaya ang 4 maaari Ang mga vertical asymptotes ay:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Asymptote # x-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / 0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Vertical asymptote para sa # x = 1 #

Tandaan: para sa # x-1 # dahil # x # ay bahagyang mas mababa sa 1 ang resulta ay magiging isang bagay na mas mababa kaysa sa 0, kaya ang negatibong tanda, kaya ang tala #0^-# kung saan mamaya isinasalin sa isang negatibong sign.

Kumpirmasyon para sa asymptote # x-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / 0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # Nakumpirma

Asymptote # x-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / 2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Vertical asymptote para sa # x = 3 #

Kumpirmasyon para sa asymptote # x-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / 2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Nakumpirma

• Pahalang na asymptotes

Hanapin ang parehong mga limitasyon bilang ang tungkulin ay may kaugaliang # + - oo #

Minus infinity #x -> - oo #

(x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

(x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (kanselahin (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (kanselahin (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Pahalang na asymptote para sa # y = 1 #

Plus infinity #x -> + oo #

(x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

(x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (kanselahin (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (kanselahin (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Pahalang na asymptote para sa # y = 1 #

Tandaan: ito lamang ang mangyayari na ang function na ito ay may karaniwang pahalang para sa pareho # -oo # at # + oo #. Dapat mong palaging suriin ang pareho.

• Mga oblique asymptotes

Dapat mo munang makita ang parehong mga limitasyon:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Para sa bawat isa, kung ang limitasyon na ito ay isang tunay na numero, ang asymptote ay umiiral at ang limitasyon ay ang slope nito. Ang # y # Ang pagharang ng bawat isa ay ang limitasyon:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Gayunpaman, upang i-save sa amin ang problema, maaari mong gamitin ang ilang mga function na "kaalaman" upang maiwasan ito. Dahil alam namin #f (x) # may horizontal asymptote para sa pareho # + - oo # ang tanging paraan ng pagkakaroon ng isang pahilig ay ang pagkakaroon ng isa pang linya bilang #x -> + - oo #. Gayunpaman, #f (x) # ay isang #1-1# gumana kaya hindi maaaring dalawa # y # mga halaga para sa isa # x #, kaya ang pangalawang linya ay imposible, kaya imposible na magkaroon ng mga oblique asymptotes.