Anong masaya, kapaki-pakinabang, mathematical fact ang kilala mo na hindi karaniwang itinuturo sa paaralan?

Sagot:

Kung paano suriin ang "mga tower ng mga exponents", tulad ng #2^(2^(2^2))#, at kung paano mag-ehersisyo ang huling digit ng # 2 ^ n, # # ninNN #.

Paliwanag:

Upang masuri ang mga "tore" na ito, nagsisimula kami sa tuktok at nagtatrabaho pababa.

Kaya:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Sa isang katulad, ngunit bahagyang hindi nauugnay na tala, alam ko rin kung paano mag-ehersisyo ang mga huling digit ng #2# itataas sa anumang likas na eksperto. Ang huling digit ng #2# itataas sa isang bagay na laging ikot sa pagitan ng apat na halaga: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Kaya kung nais mong hanapin ang huling digit ng # 2 ^ n #, hanapin kung aling lugar ang nasa siklo, at malalaman mo ang huling digit nito.

Sagot:

Kung #n> 0 # at # a # ay isang pagtatantya sa #sqrt (n) #, pagkatapos ay:

(2a + b / (2a + b / (2a + …))))) # # ngqrt (n) = a + b /

kung saan #b = n-a ^ 2 #

Paliwanag:

Ipagpalagay na gusto nating hanapin ang square root ng ilang numero #n> 0 #.

Karagdagang nais namin ang resulta upang maging isang uri ng patuloy na bahagi na uulit sa bawat hakbang.

Subukan:

(2a + b / (2a + b / (2a + …))))) # # ngqrt (n) = a + b /

(2a + b / (2a + b / (2a + …))))) # #

#color (white) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Magbawas # a # mula sa parehong dulo upang makakuha ng:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Multiply magkabilang panig sa pamamagitan ng #sqrt (n) + a # upang makakuha ng:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Kaya kung # a ^ 2 # ay isang maliit na mas mababa kaysa sa # n #, pagkatapos # b # ay magiging maliit at ang patuloy na bahagi ay magtatagpo ng mas mabilis.

Halimbawa, kung mayroon tayo # n = 28 # at pumili # a = 5 #, pagkatapos ay makakakuha tayo ng:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Kaya:

# 10 (3) / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …))))) # #

na nagbibigay sa amin ng mga pagtatantya:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

Isang calculator ang nagsasabi sa akin #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Kaya hindi ito mabilis na nagtatagpo.

Bilang kahalili, maaari naming ilagay # n = 28 # at # a = 127/24 # Hanapin:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Kaya:

# (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #

pagbibigay sa amin approximations:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

Mas mabilis itong nagtatagpo.

Sagot:

Makakahanap ka ng mga approximation sa square roots gamit ang recursively defined sequence.

Paliwanag:

#kulay puti)()#

Ang paraan

Given isang positibong integer # n # na kung saan ay hindi isang perpektong parisukat:

• Hayaan #p = palapag (sqrt (n)) # maging ang pinakamalaking positibong integer na ang parisukat ay hindi lalampas # n #.

• Hayaan #q = n-p ^ 2 #

• Tukuyin ang isang pagkakasunod-sunod ng mga integer sa pamamagitan ng:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "for" i> = 1):} #

Pagkatapos ay ang ratio sa pagitan ng sunud-sunod na mga tuntunin ng pagkakasunud-sunod ay may posibilidad # p + sqrt (n) #

#kulay puti)()#

Halimbawa

Hayaan # n = 7 #.

Pagkatapos #p = palapag (sqrt (7)) = 2 #, dahil #2^2=4 < 7# ngunit #3^2 = 9 > 7#.

Pagkatapos # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Kaya nagsisimula ang aming pagkakasunod-sunod:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

Sa teorya ang ratio sa pagitan ng magkakasunod na mga tuntunin ay dapat na may posibilidad # 2 + sqrt (7) #

Tingnan natin:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Tandaan na # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#kulay puti)()#

Paano ito gumagana

Ipagpalagay na mayroon kaming isang pagkakasunod-sunod na tinukoy sa pamamagitan ng ibinigay na mga halaga ng # a_1, a_2 # at isang panuntunan:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

para sa ilang mga constants # p # at # q #.

Isaalang-alang ang equation:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Ang mga ugat ng equation na ito ay:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Pagkatapos ng anumang pagkakasunud-sunod sa pangkalahatang termino # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # ay masisiyahan ang tuntunin ng pag-ulit na tinukoy namin.

Susunod na malutas:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

para sa # A # at # B #.

Nakita namin:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

at kaya:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Kaya sa mga halagang ito ng # x_1, x_2, A, B # meron kami:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Kung #q <3p ^ 2 # pagkatapos #abs (x_2) <1 # at ang ratio sa pagitan ng sunud-sunod na mga tuntunin ay may posibilidad # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Sagot:

Modular division

Paliwanag:

Ang modular division ay pareho lamang ng dibisyon maliban kung ang sagot ay ang natitira sa halip na ang aktwal na halaga. Sa halip na ang #-:# simbolo, ginagamit mo ang #%# simbolo.

Halimbawa, karaniwan, kung dapat mong lutasin #16-:5# makakakuha ka #3# natitira #1# o #3.2#. Gayunpaman, gamit ang modular division, #16%5=1#.

Sagot:

Pagsuri ng mga parisukat na may mga pagbubuod

Paliwanag:

Karaniwan, dapat mong malaman ang mga parisukat tulad ng #5^2=25#. Gayunpaman, kapag ang mga numero ay nagiging mas malaki tulad ng #25^2#, ito ay makakakuha ng mas mahirap na malaman off ang tuktok ng iyong ulo.

Napagtanto ko na pagkaraan ng ilang sandali, ang mga parisukat ay mga kabuuan lamang ng mga kakaibang numero.

Ang ibig kong sabihin ay ito:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # kung saan # k # ay ang base na halaga na minus #1#

Kaya #5^2# maaaring isulat bilang:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Iyon ay magbibigay sa iyo:

#1+3+5+7+9#

Ito, sa katunayan, ay #25#.

Dahil ang mga numero ay palaging incrementing ng #2#, Maaari ko bang idagdag ang una at huling numero at pagkatapos ay i-multiply # k / 2 #.

Kaya para sa #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Kaya maaari ko lang gawin #(49+1)(25/2)# at kumuha #25^2# na kung saan ay #625#.

Ito ay hindi talaga praktikal ngunit ito ay kagiliw-giliw na malaman.

#kulay puti)()#

Bonus

Alam na:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n terms" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

nagpapahintulot sa amin upang malutas ang ilang mga problema tungkol sa mga pagkakaiba ng mga parisukat.

Halimbawa, ano ang lahat ng mga solusyon sa positive integers #m, n # ng # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Binabawasan nito ang paghahanap ng kung ano ang sums ng magkakasunod na kakaibang integers na nakadagdag sa #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "average 20" #

#color (white) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (white) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (white) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "average 10" #

#color (white) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (white) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (puti) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #