Paano mo pinasimple ang root3 (1)?

Sagot:

#1# o #1^(1/3)# =#1#

Paliwanag:

Ang cubed root ng 1 ay katulad ng pagpapataas ng 1 sa lakas ng #1/3#. 1 sa kapangyarihan ng anumang bagay ay pa rin 1.

Sagot:

Paggawa sa reals makuha namin #root 3 {1} = 1 #.

Ang bawat di-zero kumplikadong numero ay may tatlong pinagmulan ng kubo, kaya doon

#root 3 {1} = 1 o -1/2 pm ako sqrt {3} / 2 #

Paliwanag:

Kung kami ay nagtatrabaho sa tunay na mga numero namin lamang tandaan #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1 #. Ipagpalagay ko na ito ay tungkol sa mga kumplikadong numero.

Ang isa sa mga kakaibang bagay na natutuklasan natin kapag pinagtutuunan natin ang mga kumplikadong numero ay ang pag-andar #f (z) = e ^ {z} # ay pana-panahon. Ang pagpaparami ng paglago ay uri ng kabaligtaran ng pana-panahon, kaya ito ay isang sorpresa.

Ang pangunahing katotohanan ay ang Euler's Identity squared. Tinatawag ko ito Euler's True Identity.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

Ipinapakita ng True Identity ni Euler # e ^ z # ay pana-panahon na may panahon # 2pi ako #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Maaari nating itaas ang True Identity ni Euler sa anumang lakas ng integer # k #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

Ano ang nakuha ng lahat ng ito sa root ng kubo? Ito ang susi. Ito ay nagsasabi na may isang countably walang katapusang bilang ng mga paraan ng pagsulat ng isa. Ang ilan sa mga ito ay may iba't ibang mga cube roots kaysa iba. Ito ang dahilan kung bakit ang mga non-integer exponents ay nagbubunga ng maraming halaga.

Iyon ang lahat ng isang malaking windup. Karaniwan ko lang sinimulan ang mga ito sa pamamagitan ng pagsulat:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # para sa integer # k #

#root {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

Ang huling hakbang ay Siyempre Euler's Formula # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta. #

Dahil kami ay may # 2pi # Ang periodicity ng trig functions (na sumusunod mula sa periodicity ng exponential at Euler's Formula) mayroon lamang kami natatanging mga halaga para sa tatlong magkakasunod # k #s. Pag-aralan natin ito para sa # k = 0,1, -1 #:

# k #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# k #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# k #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Kaya nakakuha tayo ng tatlong halaga para sa root ng kubo:

#root 3 {1} = 1 o -1/2 pm ako sqrt {3} / 2 #