Ang bilang 90 ^ 9 ay may 1900 iba't ibang mga positibong integral divisors. Gaano karaming ng mga ito ang mga parisukat ng integer?

Sagot:

Wow - nakakatanggap ako ng sagot sa sarili kong tanong.

Paliwanag:

Ito ay lumiliko na ang diskarte ay isang kumbinasyon ng mga combinatorics at numero ng teorya. Nagsisimula kami sa pamamagitan ng pagpupulong #90^9# sa mga pangunahing kadahilanan nito:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Ang bilis ng kamay dito ay upang malaman kung paano makahanap ng mga parisukat ng integers, na kung saan ay medyo simple. Ang mga parisukat ng mga integer ay maaaring mabuo sa iba't ibang mga paraan mula sa paktorisasyon na ito:

#5^9*3^18*2^9#

Nakita natin iyan #5^0#, halimbawa, ay isang parisukat ng isang integer at isang panghati ng #90^9#; Gayundin, #5^2#, #5^4#,#5^6#, at #5^8# lahat ay nakakatugon sa mga kondisyon na ito. Samakatuwid, mayroon kaming 5 posibleng paraan upang i-configure ang isang panghati ng #90^9# iyon ay isang parisukat ng isang integer, gamit ang 5s nag-iisa.

Nalalapat din ang parehong pangangatwiran #3^18# at #2^9#. Ang bawat kapangyarihan ng mga pangunahing kadahilanan - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 kabuuan) para sa 3 at 0, 2, 4, 6, 8 (5 kabuuan) para sa 2 - ay isang perpektong parisukat na siyang isang panghati ng #90^9#. At saka, anumang kumbinasyon ng mga pangunahing divisors na may kahit na kapangyarihan din satisfies ang mga kondisyon. Halimbawa, #(2^2*5^2)^2# ay isang parisukat ng isang integer, bilang ay #(3^8*2^4)^2#; at pareho, na binubuo ng mga divisors ng #90^9#, ay mga divisors din ng #90^9#.

Kaya ang ninanais na bilang ng mga parisukat ng integers na mga divisors ng #90^9# ay binigay ni #5*10*5#, na kung saan ay ang multiplikasyon ng mga posibleng pagpipilian para sa bawat kalakasan kadahilanan (5 para sa 5, 10 para sa 3, at 5 para sa 2). Ito ay katumbas ng #250#, na siyang tamang sagot.