Paano mo mahanap ang Limit ng (ln x) ^ (1 / x) bilang x approaches infinity?

Sagot:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Paliwanag:

Nagsisimula kami sa lubos na isang pangkaraniwang paglalalang kapag nakikitungo sa mga variable exponents. Maaari naming kunin ang likas na mag-log ng isang bagay at pagkatapos ay itataas ito bilang tagapaglarawan ng pag-exponential function nang hindi binabago ang halaga nito dahil ang mga ito ay kabaligtaran na operasyon - ngunit pinapayagan nito ang paggamit ng mga patakaran ng mga log sa kapaki-pakinabang na paraan.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x)

Gamit ang exponent na tuntunin ng mga tala:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Pansinin na ito ay ang exponent na nag-iiba bilang # xrarroo # upang maaari naming tumuon sa ito at ilipat ang pagpaparami function sa labas:

# = exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Kung titingnan mo ang pag-uugali ng likas na pag-andar ng pag-log, mapapansin mo na habang ang x may kaugaliang kawalang-hanggan, ang halaga ng function ay may kaugaliang infinity, kahit na napakabagal. Kapag tinanggap namin #ln (ln (x)) # mayroon kaming isang variable sa loob ng pag-andar ng log na tends infinity masyadong mabagal, ibig sabihin na kami ay may isang pangkalahatang function na may kaugaliang infinity napakabilis na dahan-dahan. Ang graph sa ibaba ay umaabot lang sa # x = 1000 # ngunit ito ay nagpapakita ng lubos na mabagal na paglago ng #ln (ln (x)) # kahit na sa paghahambing sa mabagal na paglago ng #ln (x) #.

Mula sa pag-uugali na ito, maaari naming ipahiwatig iyon # x # ay magpapakita ng mas mabilis na asymptotic growth at na ang limitasyon ng exponent ay magiging zero. #color (asul) ("Nangangahulugan ito na pangkalahatang limitasyon = 1.") #

Maaari din nating harapin ang puntong ito sa panuntunan ng L'hopital. Kailangan namin ang limitasyon upang maging sa walang tiyak na anyo, ibig sabihin # 0/0 o oo / oo # kaya namin suriin na ito ang kaso:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Sa katunayan ito ang naging dahilan kaya ang limitasyon:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

Pagkakaiba #y = ln (ln (x)) # makilala natin #y (u (x)) # at gamitin ang tuntunin ng kadena

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) ay nagpapahiwatig (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) ay nagpapahiwatig (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#dito (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Pagkukunan ng # x # ay #1#. Limitasyon ay nagiging:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)

Napag-usapan natin na ang parehong mga tungkulin sa denamineytor ay may posibilidad na walang limitasyon kaya mayroon tayo

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #