Sagot:
Ang tangyang linya ay kahanay sa # x # aksis kapag ang slope (kaya # dy / dx #) ay zero at ito ay parallel sa # y # axis kapag ang slope (muli, # dy / dx #) pumupunta sa # oo # o # -oo #
Paliwanag:
Magsisimula tayo sa paghahanap # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Ngayon, # dy / dx = 0 # kapag ang nuimerator ay #0#, sa kondisyon na ito ay hindi rin gumagawa ng denamineytor #0#.
# 2x + y = 0 # kailan #y = -2x #
Mayroon kaming ngayon, dalawang equation:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Lutasin (sa pamamagitan ng pagpapalit)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Paggamit #y = -2x #, makuha namin
Ang tangen sa curve ay pahalang sa dalawang punto:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # at # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Obserbahan na ang mga pares na ito ay hindi rin gumagawa ng denominador ng # dy / dx # katumbas ng #0#)
Upang mahanap ang mga punto kung saan ang tangent ay vertical, gawin ang denominador ng # dy / dx # pantay na tpo #0# (nang hindi rin ginagawa ang numerator #0#).
Maaari naming pumunta sa pamamagitan ng solusyon, ngunit ang mahusay na proporsyon ng equation na makuha namin:
# x = -2y #, kaya
#y = + - sqrt21 / 3 #
at ang mga punto sa curve kung saan ang tangent ay vertical ay:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # at # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Siya nga pala. Dahil ginagawa namin ang teknolohiya, narito ang graph ng pinaikling ellipse na ito: (Tandaan na # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # na makikita mo sa graph.)
graph {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}
Sagot:
Gamit lamang ang middle school math na nakukuha ko
Tangents parallel sa x axis sa:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) at (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tangents parallel sa y axis sa:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) at (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Paliwanag:
Nakita ko ang sagot ni Jim, na mukhang isang magandang, standard na paggamot sa calculus. Ngunit hindi ko matulungan ang pakiramdam ko malungkot para sa lahat ng mga middle schoolers doon sa Socratic land na gustong makahanap ng tangents ng algebraic curves ngunit pa rin ang mga taon ang layo mula sa calculus.
Sa kabutihang palad maaari nilang gawin ang mga problemang ito gamit lamang ang algebra I.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Maaaring ito ay medyo kumplikado para sa isang unang halimbawa, ngunit hayaan ito. Isinulat namin ang aming curve bilang #f (x, y) = 0 # kung saan
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Kunin natin # (r, s) # bilang isang punto sa # f #. Gusto naming mag-imbestiga # f # malapit # (r, s) # kaya sumulat kami
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# ((r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Lumalawak kami, ngunit hindi namin pinalawak ang mga pagkakaiba sa mga tuntunin # x-r # at # y-s #. Gusto naming panatilihin ang mga buo upang mag-eksperimento kami sa pag-aalis ng ilan sa ibang pagkakataon.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + ys) + (ys) ^ 2-7 #
# 2 (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) ys) #
(x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s)
Sabi namin # (r, s) # ay nasa # f # kaya nga #f (r, s) = 0 #.
(x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Inayos namin ang mga tuntunin sa pamamagitan ng antas, at maaari naming mag-eksperimento sa mga pagtatantya sa # f # malapit # (r, s) # sa pamamagitan ng pag-drop sa mas mataas na degree. Ang ideya ay kung kailan # (x, y) # ay malapit # (r, s) # pagkatapos # x-r # at # y-s # ay maliit, at ang kanilang mga parisukat at produkto ay mas maliit pa rin.
Bumuo lamang tayo ng ilang mga approximations sa # f #. Mula noon # (r, s) # ay nasa curve, ang constant approximation, na bumababa sa lahat ng mga termino ng pagkakaiba, ay
# f_0 (x, y) = 0 #
Iyon ay hindi partikular na kapana-panabik, ngunit ito ay tama na nagsasabi sa amin ng mga puntos na malapit # (r, s) # ay magbibigay ng isang halaga na malapit sa zero para sa # f #.
Kumuha ng mas kawili-wiling at panatilihin ang mga linear terms.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Kapag itinakda namin ito sa zero, makuha namin ang pinakamahusay na linear approximation sa # f # malapit # (r, s), # kung saan ay ang padaplis na linya sa # f # sa # (r, s). # Ngayon kami ay nakakakuha ng isang lugar.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Maaari din nating isaalang-alang ang iba pang mga approximations:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Ang mga ito ay mas mataas na mga tangents sa pagkakasunud-sunod, na ang mga mag-aaral sa kolehiyo sa matematika ay hindi kailanman nakarating. Kami ay wala na sa kabila ng calculus sa kolehiyo.
Mayroong higit pang mga approximations, ngunit ako ay binigyan ng babala na ito ay nakakakuha ng matagal. Ngayon na natutunan namin kung paano gawin ang calculus gamit lamang ang Algebra I, gawin natin ang problema.
Gusto naming hanapin ang mga punto kung saan ang tangyang linya ay magkapareho sa # x # axis at # y # aksis.
Natagpuan namin ang aming padaplis na linya sa # (r, s) # ay
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Kahanay sa # x # Ang axis ay nangangahulugang isang equation #y = text {constant} #. Kaya ang koepisyent sa # x # dapat ay zero:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r, s) # ay sa curve kaya #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Mula noon # s = -2r # ang mga puntos ay
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) at (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Katulad nito kahilera sa y axis ay nangangahulugang # 2s + r = 0 # na dapat lamang magpalitan ng x at y dahil sa mahusay na proporsyon ng problema. Kaya ang iba pang mga punto ay
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) at (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Suriin.
Paano mag-check? Magagawa natin ang Alpha plot.
isang parisukat x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Mukhang maganda. Calculus sa algebraic curves. Pretty good para sa middle school.
