Paano ko malutas ang equation na kaugalian?

Sagot:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Paliwanag:

Ito ay separable na kaugalian equation, na nangangahulugan lamang na posible na pangkatin ang # x # mga tuntunin & # y # mga tuntunin sa magkabilang panig ng equation. Kaya, ito ang gagawin natin muna:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Ngayon, gusto nating makuha dy sa gilid na may y's, at dx sa gilid na may x's. Kailangan naming gawin ang isang piraso ng muling pag-aayos:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Ngayon, isinasama namin ang magkabilang panig:

#int (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Gawin natin ang bawat mahalagang bahagi:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Una, hahatiin natin ito sa 2 magkahiwalay na mga integral ng panuntunan sa pagdaragdag / pagbabawas:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Ang mga ganitong uri ng nakakainis. Gayunpaman, maaari naming bigyan sila ng isang bit ng isang makeover upang gumawa ng mga ito hitsura nicer (at mas madali upang malutas):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Pareho silang simple ngayon # u #-Substitution integrals. Kung itinakda mo #u = -x # at # -3x # ayon sa pagkakabanggit, makakakuha ka ng sagot bilang:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

# Kung gagawin namin ang negatibong lumalabas na positibo, nakukuha namin ang:

#int (ye ^ y) dy #

Kailangan nating gamitin ang pagsasama ng mga bahagi para dito. Ang formula ay:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Kami ay magtatakda #u = y #, at #dv = e ^ y dy #. Ang dahilan dito ay na gusto natin ng madali # du # para sa pangwakas na pagsasama, at dahil din # e ^ y # Napakadaling isama.

Kaya:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Ngayon, nag-plug lang kami at umuungol:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Paglalagay ng lahat ng bagay pabalik sa:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Pag-alis ng mga negatibong eksperto:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

At iyon ang isang medyo disenteng pangwakas na sagot. Kung nais mong malutas para sa # y #, magagawa mo, at makakasama ka

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Pansinin na wala kaming isang # + C # sa LHS ng equation na ito. Ang dahilan para sa mga ito ay na kahit na namin ilagay ito, sa wakas ay namin ibawas ito mula sa RHS, at isang di-makatwirang pare-pareho minus isang di-makatwirang pare-pareho pa rin (maghintay para sa mga ito) isang di-makatwirang pare-pareho. Kaya, para sa mga problemang ito hangga't mayroon ka ng iyong # + C # sa anumang bahagi ng equation, magiging maayos ka.

Hope na tumulong:)