Solve the differential equation: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y? Talakayin kung anong uri ng kaugalian equation ito, at kapag ito ay maaaring lumabas?

Sagot:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Paliwanag:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y #

pinakamahusay na nakasulat bilang

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad triangle #

na nagpapakita na ito ay linear ikalawang pagkakasunud-sunod ng homogeneous differential equation

ito ay may katangian na equation

# r ^ 2 -8 r + 16 = 0 #

na maaaring malutas ang mga sumusunod

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

ito ay isang paulit-ulit na ugat kaya ang pangkalahatang solusyon ay nasa anyo

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

ito ay di-oscillating at mga modelo ng ilang mga uri ng pagpaparami pag-uugali na talagang nakasalalay sa halaga ng A at B. Isa ay maaaring hulaan ito ay maaaring isang pagtatangka upang i-modelo ang populasyon o predator / biktima ng pakikipag-ugnayan ngunit hindi ko talaga maaaring sabihin ang anumang partikular na tiyak.

ito ay nagpapakita ng kawalang-tatag at na tungkol sa lahat ako ay maaaring tunay na sabihin tungkol sa mga ito

Sagot:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Paliwanag:

Ang kaugalian equation

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

ay isang linear homogeneous constant coefficient equation.

Para sa mga equation na ang pangkalahatang solusyon ay may istraktura

#y = e ^ {lambda x} #

Ang pagpapalit namin

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Dito # e ^ {lambda x} ne 0 # kaya dapat sundin ang mga solusyon

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Paglutas na nakukuha natin

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Kapag umuulit ang mga ugat, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # ay solusyon din. Kung sakali # n # paulit-ulit na mga ugat, magkakaroon tayo ng mga solusyon:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # para sa # i = 1,2, cdots, n #

Kaya, upang mapanatili ang bilang ng mga paunang kondisyon, kasama namin ang mga ito bilang mga independiyenteng solusyon.

Sa kasong ito ay mayroon kami

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

na nagreresulta sa

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Lumilitaw ang mga equation na iyon kapag ang pagmodelo ng mga linear lumped na mga parameter ng system tulad ng mga matatagpuan sa linear circuit theory o linear mechanics. Ang mga equation ay karaniwang hinahawakan gamit ang pagpapatakbo ng mga algebraic na pamamaraan tulad ng Laplace Transform methods