Ano ang equation ng tangent line ng f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 sa x = 5?

Ang equation ng tangent line ay sa form:

# y = kulay (orange) (a) x + kulay (violet) (b) #

kung saan # a # ay ang slope ng tuwid na linya.

Upang mahanap ang slope ng tangent line na ito #f (x) # sa punto # x = 5 # dapat nating iibahin #f (x) #

#f (x) # ay isang kusyenteng function ng form # (u (x)) / (v (x)) #

kung saan #u (x) = x-3 # at #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#color (asul) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#u '(x) = x'-3' #

#color (pula) (u '(x) = 1) #

#v (x) # ay isang composite function kaya kailangan nating mag-apply ng rule rule

hayaan #g (x) = x ^ 2 # at #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#color (pula) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#g '(x) = 2x # pagkatapos

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#color (pula) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#color (pula) (v '(x) = 2 (x-4) #

#color (asul) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

pinasimple ang karaniwang kadahilanan # x-4 # sa pagitan ng numerator at denominador

#color (asul) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Sapagkat ang tangent na linya ay pumasa sa punto # x = 5 # kaya namin mahanap ang halaga ng slope # a # sa pamamagitan ng pagpapalit # x = 5 # sa # f '(x) #

#color (orange) (a = f '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# a = -3 / 1 ^ 3 #

#color (orange) (a = -3) #

Given ang abscissa ng punto ng tangency #color (brown) (x = 5) # hinahayaan

hinahanap ang ordinasyon nito # y = f (5) #

#color (brown) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# y = 2/1 #

#color (brown) (y = 2) #

Ang pagkakaroon ng mga coordinate ng tangency point #color (brown) ((5; 2)) # at ang slope #color (orange) (a = -3) # Hanapin natin #color (violet) (b) #

hinahayaan ang kapalit ng lahat ng mga kilalang halaga sa equation ng tangent line upang makahanap ng halaga #color (violet) (b) #

#color (brown) (y) = kulay (orange) (a) kulay (kayumanggi) (x) + kulay (violet) (b) #

# 2 = -3 (5) + kulay (violet) (b) #

# 2 = -15 + kulay (violet (b) #

# 17 = kulay (violet) (b) #

samakatuwid, ang equation ng tangent line sa point #color (brown) ((5; 2)) # ay:

# y = -3x + 17 #