Kailan mo ginagamit ang formula ni Heron upang makahanap ng lugar?

Maaari mo itong gamitin tuwing alam mo ang haba ng lahat ng tatlong panig ng isang tatsulok.

Umaasa ako na ito ay kapaki-pakinabang.

Sagot:

Ang Heron's Formula ay halos palaging ang maling pormula na gagamitin; subukan ang Archimedes 'Theorem para sa isang tatsulok na may lugar # A # at panig # a, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4)

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # kung saan # s = 1/2 (a + b + c) #

Ang huling ito ay manipis na veiled Heron.

Paliwanag:

Ang bayani ng Alexandria ay nagsulat noong unang siglo AD. Bakit namin patuloy na pahirap ang mga mag-aaral sa kanyang resulta kapag may mga mas mahusay na modernong mga katumbas na wala akong ideya.

Heron's formula para sa lugar # A # ng isang tatsulok na may panig # a, b, c # ay

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # kung saan # s = 1/2 (a + b + c) # ay ang semiperimeter.

Walang alinlangan ang formula na ito ay kahanga-hanga. Ngunit mahirap na gamitin dahil sa praksiyon at, kung magsisimula tayo mula sa mga coordinate, ang apat na square root.

Lamang gawin natin ang matematika. Kami ay parisukat at puksain # s # kung saan karamihan ay nagsisilbing itago ang isang #16# at isang mahalagang paktorisasyon. Baka gusto mong subukan muna ito muna.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Iyon ay mas mahusay kaysa sa form ni Heron. I-save namin ang maliit na bahagi hanggang sa dulo at wala nang higit pang nagtataka tungkol sa kahulugan ng semiperimeter.

Ang masamang kaso ay nagsasabi. Kapag ang isa sa mga salik na may minus sign ay zero, iyon ay kapag ang dalawang panig ay nakadagdag sa eksakto sa kabilang panig. Ang mga distansya sa pagitan ng tatlong puntos ng collinear, ang degenerate na tatsulok, at nakakakuha kami ng zero na lugar. Gumagawa ng pakiramdam.

Ang # a + b + c # Ang kawili-wili ay kadalasang Ang sinasabi nito sa amin ay gumagana pa rin ang formula na ito kung gumagamit kami ng mga displacements, naka-sign haba, sa halip ng lahat ng positibo.

Ang formula ay pa rin mahirap na gamitin ang mga ibinigay na mga coordinate. Magpaparami tayo; baka gusto mong subukan ito sa iyong sarili;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2-b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2-b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Ang form na iyon ay nakasalalay lamang sa mga parisukat ng haba. Ito ay malinaw na ganap na simetriko. Maaari tayong lumampas sa Heron ngayon at sabihin kung ang squared lengths ay makatuwiran, gayon din ang squared area.

Ngunit maaari naming gawin mas mahusay kung namin tandaan

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Pagbabawas,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Iyon ang pinakamagandang porma.

Mayroong isang walang simetriko naghahanap form na karaniwang ang pinaka-kapaki-pakinabang. Tandaan namin

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Ang pagdaragdag nito sa

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Iyon ang pinaka-kapaki-pakinabang na form. Mayroon talagang tatlong mga paraan upang isulat ito, pagpapalit panig.

Ang mga ito ay tinatawag na Archimedes 'Theorem, mula sa Rational Trigonometry ng NJ Wildberger.

Kapag binigyan ng 2D coordinates, madalas ang Shoelace Formula ay ang pinakamabilis na landas sa lugar, ngunit makikita ko i-save iyon para sa iba pang mga post.