Tanong # 69feb

Sagot:

Normal na linya: # y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Tangent line: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Paliwanag:

Para sa intuwisyon: Isipin na ang pag-andar #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # ay naglalarawan ng taas ng ilang lupain, kung saan # x # at # y # ay mga coordinate sa eroplano at #ln (y) # ay ipinapalagay na natural na logarithm. Pagkatapos ng lahat # (x, y) # tulad na #f (x, y) = a # (ang taas) ay katumbas ng ilang pare-pareho # a # ay tinatawag na curve ng antas. Sa aming kaso ang patuloy na taas # a # ay zero, dahil #f (x, y) = 0 #.

Maaari kang maging pamilyar sa mga topographic na mapa, kung saan ipinapahiwatig ng mga closed line ang mga linya ng pantay na taas.

Ngayon ang gradient #grad f (x, y) = ((bahagyang f) / (bahagyang x), (bahagyang f) / (bahagyang x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # ay nagbibigay sa amin ng direksyon sa isang punto # (x, y) # kung saan #f (x, y) # (ang taas) nagbabago ang pinakamabilis. Ito ay alinman sa tuwid up o tuwid sa burol, hangga't ang aming mga lupain ay makinis (differentiable), at hindi kami sa isang tuktok, sa isang ibaba o sa isang talampas (isang extremum point). Ito ay sa katunayan ang normal na direksyon sa isang curve ng pare-pareho ang taas, tulad na sa # (x, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1).

Samakatuwid, ang normal na linya sa direksyon na dumadaan # (2, e ^ 2) # ay maaaring inilarawan bilang

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, kung saan #s sa mathbbR # ay isang tunay na parameter. Maaari mong alisin # s # upang ipahayag # y # bilang isang katangian ng # x # kung gusto mo, hanapin

# y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Ang directional derivative sa tangent direksyon ay dapat #0# (ibig sabihin ang taas ay hindi nagbabago), kaya isang tangent vector # (u, v) # dapat masiyahan

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = e ^ 2u #, kung saan # cdot # ay nangangahulugang ang dot na produkto. Kaya # (u, v) = (1, e ^ 2) # ay isang wastong pagpili. Samakatuwid, ang padaplis na linya dumaraan # (2, e ^ 2) # ay maaaring inilarawan bilang

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t sa mathbbR #.

Paglutas para sa # y # binibigyan iyon

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Dapat mong suriin sa wakas iyon # (2, e ^ 2) # ay namamalagi sa curve #f (x, y) #, sa linya ng padaplis, at sa normal na linya.