Paano nagsusulat ka ng isang polinomyal na may tungkulin ng minimum na antas sa karaniwang form na may mga tunay na coefficients na ang mga zeros ay nagsasama -3,4, at 2-i?

Sagot:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) # may #aq sa RR #.

Paliwanag:

Hayaan # P # maging polinomyal ang pinag-uusapan mo. Akala ko #P! = 0 # o ito ay walang halaga.

May mga tunay na coefficients, kaya #P (alpha) = 0 => P (baralpha) = 0 #. Nangangahulugan ito na mayroong isa pang ugat para sa P, #bar (2-i) = 2 + i #, samakatuwid ang form na ito para sa # P #:

(X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # may #a_j sa NN #, #Q sa RR X # at #a sa RR # dahil gusto natin # P # upang magkaroon ng mga tunay na coefficients.

Gusto namin ang antas ng # P # upang maging maliit hangga't maaari. Kung # X (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X-2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) pagkatapos #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = sum (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # kaya nga #deg (Q)> = 0 #. Kung gusto natin # P # upang magkaroon ng pinakamaliit na degree na posible, pagkatapos #deg (Q) = 0 # (# Q # ay isang tunay na bilang lamang # q #), samakatuwid #deg (P) = deg (R) # at narito maaari nating sabihin iyan #P = R #. #deg (P) # ay mas maliit hangga't maaari kung bawat isa #a_j = 0 #. Kaya #deg (P) = 4 #.

Kaya sa ngayon, #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) q #. Paggawa natin iyan.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) sa RR X #. Kaya ang pagpapahayag na ito ang pinakamahusay # P # maaari naming mahanap sa mga kundisyon na iyon!