Tanong # 27939

Sagot:

Tulad ng sinabi ni Sudip Sinha # -1 + sqrt3i # ay HINDI isang zero. (Nakalimutan ko ang pag-check na.) Ang iba pang mga zero ay # 1-sqrt3 i # at #1#.

Paliwanag:

Dahil ang lahat ng mga coefficients ay tunay na mga numero, ang anumang mga haka-haka na zero ay dapat mangyari sa mga pares ng conjugate.

Samakatuwid, # 1-sqrt3 i # ay isang zero.

Kung # c # ay isang zero pagkatapos # z-c # ay isang kadahilanan, upang maaari naming multiply

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # upang makakuha # z ^ 2-2z + 4 #

at pagkatapos ay hatiin #P (z) # sa pamamagitan ng parisukat na iyon.

Ngunit mas mabilis na isaalang-alang ang posibleng rational zero para sa # P # una. O idagdag ang mga coefficients upang makita iyon #1# ay isang zero din.

Sagot:

#1# at # 1 - sqrt3 i #

Paliwanag:

Mayroong isang error sa iyong katanungan. Ang ugat ay dapat na # 1 + sqrt3 i #. Maaari mong i-verify ito sa pamamagitan ng paglalagay ng halaga sa expression. Kung ito ay isang ugat ang expression ay dapat suriin sa zero.

Ang expression ay may lahat ng mga tunay na coefficients, kaya sa pamamagitan ng Complex Conjugate Roots teorama (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), mayroon kaming na ang iba pang mga kumplikadong ugat ay # 1 - sqrt3 i #, Maliwanag, ang ikatlong ugat (sabihin # a #) ay dapat na tunay, dahil hindi ito maaaring magkaroon ng isang kumplikadong kondyugeyt; sa kabilang banda ay magkakaroon ng 4 na mga ugat, na hindi posible para sa isang ika-3 degree na equation.

Tandaan

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Dahil # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Susubukan naming makuha ang salik na ito sa pagpapahayag.

Maaari naming isulat:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Sagot:

Bilang isang intro, sa tingin ko na ang ugat ay dapat na #color (asul) (1 + sqrt3) # at hindi #color (pula) (- 1 + sqrt3) #

Sa batayan na iyon ang sagot ko:

#z sa {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Paliwanag:

Sa pamamagitan ng paggamit ng ideya ng kumplikadong conjugates at iba pa cool na mga trick.

#P (z) # ay isang polinomyal ng degree #3#. Ipinahihiwatig nito na dapat lamang nito #3# pinagmulan.

Isang kagiliw-giliw na katotohanan tungkol sa mga kumplikadong pinagmulan ay hindi sila nagaganap nang nag-iisa. Sila ay laging nangyayari mga pares ng conjugate.

Kaya kung # 1 + isqrt3 # ay isang ugat, at pagkatapos nito conjugate: # 1-isqrt3 # tiyak na isang ugat din!

At dahil may isa pang ugat na natitira, maaari naming tawagan ang ugat na iyon # z = a #.

Ito ay hindi isang kumplikadong numero dahil, kumplikadong pinagmulan ay laging nangyayari sa mga pares.

At dahil ito ang huling ng #3# Mga ugat, hindi maaaring maging anumang iba pang mga pares pagkatapos ng unang isa!

Sa katapusan ang mga kadahilanan ng #P (z) # ay madaling makita # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "at" (z-a) #

NB: Tandaan na ang pagkakaiba sa pagitan ng ugat at isang kadahilanan ay ang:

- Ang ugat ay maaaring maging # z = 1 + i #

Ngunit ang kaukulang kadahilanan ay magiging # z- (1 + i) #

Ang ikalawang lansihin ay iyon, sa pamamagitan ng pagtatalumpati #P (z) # dapat nating makuha ang ganito:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Susunod, palawakin ang mga tirante, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

Susunod, tinutukoy namin ito sa orihinal na polinomyal #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Dahil ang dalawang polynomials ay magkapareho, tinutumbasan natin ang mga coefficients ng # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #at # z ^ 0 #(ang patuloy na termino) sa magkabilang panig,

Talaga, kailangan lang nating pumili ng isang equation at upang malutas ito para sa # a #

Equating ang pare-pareho ang mga tuntunin, # => - 4a = -4 #

# => a = 1 #

Kaya ang huling ugat ay #color (asul) (z = 1) #