Ano ang isang grupo ng Abelian, mula sa isang linear / abstract na pananaw sa algebra?

Sagot:

Ang grupo ng Abelian ay isang pangkat na may karagdagang ari-arian ng operasyong pangkat na komutibo.

Paliwanag:

A grupo # <G, •> # ay isang hanay # G # kasama ng isang binary operation # •: GxxG-> G # na nagtutupad ng mga sumusunod na kondisyon:

1. # G # ay sarado sa ilalim #•#.

   Para sa anumang # a, binG #, meron kami # a • b sa G #

2. #•# ay nag-uugnay.

   Para sa anumang # a, b, cinG #, meron kami # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. # G # ay naglalaman ng isang elemento ng pagkakakilanlan

   May umiiral na # einG # tulad na para sa lahat # ainG #, # a • e = e • a = a #

4. Ang bawat elemento ng # G # May isang kabaligtaran sa # G #

   Para sa lahat # ainG # may umiiral na # a ^ (- 1) inG # tulad na # a • a ^ (- 1) = a ^ (- 1) • a = e #

Ang isang grupo ay sinabi na Abelian kung mayroon din itong ari-arian na #•# ay commutative, iyon ay, para sa lahat # a, binG #, meron kami # a • b = b • a #.

Ang grupo # <ZZ, +> # (ang mga integer na may pamantayang karagdagan) ay isang grupo ng Abelian, habang tinutupad nito ang lahat ng limang mga kondisyon sa itaas.

Ang grupo # GL_2 (RR) # (ang hanay ng mga nababaligtad # 2 "x" 2 # matrices na may mga tunay na elemento kasama ang multiplikasyon ng matrix) ay di-Abelian, habang ginagawa nito ang unang apat na kondisyon, ang pagpaparami ng matrix sa pagitan ng mga nababagong matrices ay hindi kinakailangang commutative. Halimbawa:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

ngunit

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#