Ano ang multiplicity ng tunay na ugat ng isang equation na tumatawid / hinawakan ang x-axis nang isang beses?

Sagot:

Ang ilang mga obserbasyon …

Paliwanag:

Tandaan na #f (x) = x ^ 3 # may mga katangian:

#f (x) # ay nasa antas #3#
Ang tanging tunay na halaga ng # x # para sa #f (x) = 0 # ay # x = 0 #

Ang dalawang pag-aari na nag-iisa ay hindi sapat upang matukoy na ang zero sa # x = 0 # ay may maraming iba't ibang uri #3#.

Halimbawa, isaalang-alang:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Tandaan na:

#g (x) # ay nasa antas #3#
Ang tanging tunay na halaga ng # x # para sa #g (x) = 0 # ay # x = 0 #

Ngunit ang multiplicity ng zero ng #g (x) # sa # x = 0 # ay #1#.

Ang ilang mga bagay na maaari naming sabihin:

Isang polinomyal ng antas #n> 0 # ay eksakto # n # kumplikado (posibleng tunay) mga numerong binibilang ang multiplicity. Ito ay isang resulta ng Pangunahing Teorema ng Algebra.
#f (x) = 0 # tanging kung kailan # x = 0 #, gayon pa man ito ng degree #3#, gayon din #3# ang mga numerong pagbibilang ng maraming bilang.
Samakatuwid na zero sa # x = 0 # dapat na ng maraming bilang #3#.

Bakit hindi pareho ang totoo #g (x) #?

Ito ay nasa antas #3#, kaya may tatlong zeros, ngunit dalawa sa kanila ay di-totoong kumplikado na zero, pangalan # + - i #.

Isa pang paraan ng pagtingin sa ito ay upang obserbahan iyon # x = a # ay isang zero ng #f (x) # kung at tanging kung # (x-a) # ay isang kadahilanan.

Nakita namin:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

Yan ay: # x = 0 # ay isang zero #3# ulit.

Ang polinomyal ng degree 4, P (x) ay may ugat ng multiplicity 2 sa x = 3 at mga ugat ng multiplicity 1 sa x = 0 at x = -3. Ito ay pumupunta sa punto (5,112). Paano mo mahanap ang isang formula para sa P (x)?

Ang isang polinomyal ng antas 4 ay magkakaroon ng form na ugat: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Kapalit sa mga halaga para sa mga ugat at pagkatapos ay gamitin ang punto upang hanapin ang halaga ng k. Ibigay ang mga halaga para sa mga ugat: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Gamitin ang punto (5,112) upang mahanap ang halaga ng k: 112 = (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8)) k = 7/10 Ang ugat mula sa polinomyal ay: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

Ang polinomyal ng degree 5, P (x) ay may nangungunang koepisyent 1, ay may pinagmulan ng multiplicity 2 sa x = 1 at x = 0, at isang ugat ng multiplicity 1 sa x = -3, paano mo makita ang isang posibleng formula para sa P (x)?

P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Ang bawat ugat ay tumutugma sa isang linear factor, kaya maaari naming isulat: P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 3) = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Ang anumang polinomyal sa mga zero na ito at hindi bababa sa mga multiplicity na ito ay magiging Maraming (scalar o polynomial) ng P (x) na taludtod na ito. Mahigpit na nagsasalita, ang isang halaga ng x na nagreresulta sa P (x) = 0 ay tinatawag na ugat ng P (x) = 0 o zero ng P (x). Kaya ang tanong ay dapat na tunay na ginagamit tungkol sa mga zero ng P (x) o tungkol sa mga ugat ng P (x) = 0.

Ang polinomyal ng degree 5, P (x) ay may nangungunang koepisyent 1, may mga ugat ng multiplicity 2 sa x = 1 at x = 0, at isang ugat ng multiplicity 1 sa x = -1 Maghanap ng isang posibleng formula para sa P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Given na may ugat ng multiplicity 2 sa x = 1, alam natin na ang P (x) ay isang kadahilanan (x-1) ^ 2 Given na kami ay may root ng multiplicity 2 sa x = 0, alam namin na ang P (x) ay may isang kadahilanan x ^ 2 Given na kami ay may ugat ng multiplicity 1 sa x = -1, alam namin na ang P (x) May isang kadahilanan x + 1 Kami ay binibigyan na ang P (x) ay isang polinomyal ng degree 5, at sa gayon ay tinukoy namin ang lahat ng limang mga ugat, at mga kadahilanan, upang maaari naming isulat P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 At maaari naming isulat ang P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Alam