Ano ang antiderivate ng 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Sagot:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Paliwanag:

Kaya narito kami ay may mahalagang bahagi:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

At ang anyo ng parisukat na katumbas ay tila iminumungkahi na ang trigonometriko pagpapalit ay gagana dito. Kaya kumpletuhin muna ang parisukat upang makakuha ng:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Pagkatapos ay ilapat ang pagpapalit #u = x-1 # upang alisin ang linear:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Kaya maaari naming ligtas na baguhin ang mga variable na walang mga hindi kanais-nais na epekto:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Ngayon, ito ay ang perpektong anyo para sa pagpapatupad ng isang trigonometriko pagpapalit; # u ^ 2 + 1 # nagpapahiwatig ng Pythagorean Identity # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, kaya inilalapat namin ang pagpapalit #u = tantheta # upang gawing simple ang denamineytor:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Kaya ang integral ay nagiging:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Ngayon, ginagamit namin ang double-angle formula para sa # cos # upang gawing mas madaling pamahalaan ang antiderivative na ito:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Pagkatapos ay ilagay na sa mahalaga:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (at muling buksan ito gamit ang double-angle formula para sa # sin #)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Ngayon, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Sa wakas, ang pagkuha sa punto:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #