Paano upang makalkula ito? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Halimbawa

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Sa kasamaang palad ang pag-andar sa loob ng integral ay hindi isasama sa isang bagay na hindi maipahayag sa mga tuntunin ng elementarya na mga function. Kailangan mong gumamit ng mga de-numerong pamamaraan upang gawin ito.

Maaari ko bang ipakita sa iyo kung paano gamitin ang isang serye pagpapalawak upang makakuha ng isang tinatayang halaga.

Magsimula sa geometric series:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n # para sa # rlt1 #

Isama ngayon na may paggalang sa # r # at paggamit ng mga limitasyon #0# at # x # upang makuha ito:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Pagsasama sa kaliwang bahagi:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Isama ngayon ang kanang bahagi sa pamamagitan ng pagsasama ng termino sa pamamagitan ng termino:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Kaya ito ay sumusunod na:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Ngayon hatiin sa pamamagitan ng # x #:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Kaya't mayroon na kami ngayon ng power series expression para sa function na aming sinimulan na nagsimula. Sa wakas, maaari nating isama muli upang makakuha ng:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

Ang pagsasama ng tamang kamay sa pamamagitan ng termino ay nagbibigay sa amin ng:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Ang pagsusuri sa mga limitasyon sa apat na termino ay magbibigay sa amin ng isang tinatayang halaga:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Ngayon, ito ay para lamang sa apat na termino. Kung gusto mo ng isang mas tumpak na numero, gumamit ka ng higit pang mga termino sa serye. Halimbawa, ang pagpunta sa ika-100 termino:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x~~-1.63498#

Bilang isang tabi, kung nagtatrabaho ka sa eksaktong parehong proseso ngunit gumamit ng notasyon ng pagbubuo (ibig sabihin ay may malaking sigma sa halip na pagsulat ng mga tuntunin ng serye) ay makikita mo na:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

na kung saan ay lamang ang Riemann-Zeta function ng 2, i.e:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

Talagang alam na natin ang halaga nito: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Kaya ang eksaktong halaga ng integral ay maaaring deduced na:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #