Ano ang pangkalahatang solusyon ng kaugalian equation y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "Ang katangian ng equation ay:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "disc ng quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "kaya't mayroon kaming dalawang komplikadong solusyon, ang mga ito ay" #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Kaya ang pangkalahatang solusyon ng magkaparehong equation ay:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

(X / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "Ang partikular na solusyon sa kumpletong equation ay" #

# "y = x," #

# "Madaling makita iyan." #

# "Kaya ang kumpletong solusyon ay:" #

(x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2)

Sagot:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)

Paliwanag:

Meron kami:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

O, Bilang kahalili:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Ito ay ikatlo order linear non-homogeneous Differentiation Equation na may constant coefficients. Ang standard na diskarte ay upang mahanap ang isang solusyon, # y_c # ng magkaparehong equation sa pamamagitan ng pagtingin sa Auxiliary Equation, na kung saan ay ang polynomial equation na may coefficients ng derivatives., At pagkatapos ay sa paghahanap ng isang independiyenteng partikular na solusyon, # y_p # ng di-magkatulad na equation.

Ang mga pinagmulan ng pantulong na equation ay tumutukoy sa mga bahagi ng solusyon, na kung linearly independiyenteng pagkatapos ang superposisyon ng mga solusyon ay bumubuo ng buong pangkalahatang solusyon.

• Totoong magkakaibang ugat # m = alpha, beta, … # ay magbubunga ng mga linearly independiyenteng solusyon ng form # y_1 = Ae ^ (alphax) #, # y_2 = Maging ^ (betax) #, …
• Totoong paulit-ulit na pinagmulan # m = alpha #, magbubunga ng solusyon sa form # y = (Ax + B) e ^ (alphax) # kung saan ang polinomyal ay may parehong antas ng ulitin.
• Kumplikadong Roots (na dapat maganap bilang mga pares ng conjugate) # m = p + -qi # ay magbubunga ng isang pares ng mga linearly independiyenteng solusyon ng form # y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

Partikular na Solusyon

Upang makahanap ng isang partikular na solusyon ng di-magkatulad na equation:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # may #f (x) = 4 # ….. C

pagkatapos ay bilang #f (x) # ay isang polinomyal ng degree #0#, hahanapin namin ang isang polinomyal na solusyon ng parehong antas, hal. ng anyo #y = a #

Gayunpaman, ang naturang solusyon ay umiiral na sa solusyon ng CF at sa gayon ay dapat isaalang-alang ang isang potensyal na solusyon ng form # y = ax #, Kung saan ang mga constants # a # ay natutukoy sa pamamagitan ng direktang pagpapalit at paghahambing:

Nakakaiba # y = ax # wrt # x # makakakuha tayo ng:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Ang pagpapalit ng mga resultang ito sa DE A ay nakukuha namin:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

At kaya bumubuo kami ng Partikular na solusyon:

# y_p = x #

Pangkalahatang Solusyon

Na kung saan ay humahantong sa GS ng A}

# y (x) = y_c + y_p #

Ang isang + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Tandaan ang solusyon na ito #3# constants ng pagsasama at #3# linearly independiyenteng mga solusyon, kaya sa pamamagitan ng pagkakaroon at kakaibang teorama ang kanilang superposisyon ay ang Pangkalahatang Solusyon