Ano ang int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Sagot:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Paliwanag:

Ang paliwanag na ito ay medyo mahaba, ngunit hindi ko mahanap ang isang mas mabilis na paraan upang gawin ito …

Ang integral ay isang linear na aplikasyon, kaya't maaari mo nang hatiin ang function sa ilalim ng integral sign.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

Ang 2 unang termino ay polinomyal na mga pag-andar, kaya't madali itong isama. Ipakita ko sa iyo kung paano ito gagawin # x ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # kaya nga # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Ginagawa mo ang eksaktong parehong bagay para sa # x ^ 3 #, ang resulta ay #255/4#.

Paghahanap #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # ay medyo mahaba at kumplikado. Una multiply mo ang fraction sa pamamagitan ng #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # at pagkatapos mong baguhin ang variable: sabihin natin #u = sqrt (x-1) #. Kaya # du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # at kailangan mo na ngayong maghanap # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Upang mahanap ito, kailangan mo ang bahagyang pagkasira ng fraction ng makatwirang pag-andar # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # may # a, b, c, d sa RR #. Pagkatapos ng calculus, nalaman namin iyon # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, na nangangahulugang iyon # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # ay kilala, ito ay #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Sa wakas, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2) (1 + u ^ 2) #

Pinalitan mo # u # sa pamamagitan ng orihinal na expression nito sa # x # upang magkaroon #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, na kung saan ay #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Kaya sa wakas, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #