Patunayan ito: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

Upang patunayan

# tg ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+ cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + sinx) ^ 2 (1-sinx) ^ 2) / (1-sin ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2x) ^ 2) #

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) #

# = sin ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS #

Pinatunayan

Ito ay isa sa mga patunay na mas madaling magtrabaho mula sa kanan papuntang kaliwa. Magsimula sa:

# ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2)) #

Multiply ang numerator at denominador ng mga naka-embed na fractions ng "conjugates" (hal. # 1pmsinx # sa # 1 sinx #). Nakuha mo na, hal., # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-kasalanan ^ 2x #.

(1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx))) - ((1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx) (1-cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1-cosx))) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2x)

Ulitin ang nakaraang hakbang upang gawing simple ang denamineytor sa mga naka-embed na praksyon:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2) (1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)

Gamitin ang mga pagkakakilanlan # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # at # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # upang makakuha ng:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x))) / (((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^)) - ((1-cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) #

Pagsamahin ang mga fractions at paltik upang i-multiply ang mga reciprocals:

# = (((1 + sinx) ^ 2 (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / (((1 + cosx) ^ 2 (1-cosx) ^ 2) 4x)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2 (1-cosx) ^ 2) #

Palawakin ang mga katagang termino:

# = (kanselahin (1) + 2sinx + kanselahin (sin ^ 2x) - (kanselahin (1) -2sinx + kanselahin (sin ^ 2x))) / (cos ^ 4x) * (sin ^) + 2cosx + kanselahin (cos ^ 2x) - (kanselahin (1) -2cosx + kanselahin (cos ^ 2x))) #

# = (kanselahin (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (kanselahin (4) cosx) #

# = kulay (bughaw) (tan ^ 5x) #