Isulat muli ang equation sa isang rotated x'y'-system na walang term na x'y. Maaari ba akong makakuha ng tulong? Salamat!

Sagot:

Ang pangalawang pinili:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Paliwanag:

Ang ibinigay na equation

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

ay nasa pangkalahatang Cartesian form para sa isang seksyon ng alimusod:

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

kung saan #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 at F = -144 #

Ang reference Rotation of Axes ay nagbibigay sa amin ng mga equation na nagbibigay-daan sa amin upang paikutin ang isang seksyon ng alimusod sa isang tinukoy na anggulo, # theta #. Gayundin, nagbibigay ito sa atin ng isang equation na nagpapahintulot sa amin na pilitin ang koepisyent ng # xy # upang maging 0.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Pagbabawas ng mga halaga mula sa equation 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Pasimplehin:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Gamitin ang equation (9.4.4b) upang ma-verify na ang bagong pag-ikot ay nagiging sanhi ng koepisyent ng # xy # term na 0:

#B '= (A-C) kasalanan (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) kasalanan (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # na-verify.

Gamitin ang equation (9.4.4a) upang makalkula # A '#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 sin (2theta) #

2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 kasalanan (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Gamitin ang equation (9.4.4c) upang kumpirmahin # C '#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2theta) + B / 2 kasalanan (2theta) #

2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 kasalanan (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Gamitin ang Equation (9.4.4f) upang kumpirmahin # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Ngayon, maaari naming isulat ang unrotated form:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Hatiin ang magkabilang panig ng 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Magdagdag ng 1 sa magkabilang panig:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Sagot:

Pagpipilian B

Paliwanag:

Maaari naming isulat ang equation sa matrix form at pagkatapos ay iikot ito sa kanyang pangunahing axis.

Hayaan:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

At kaya sa form na matris:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad square #

Upang paikutin ang axes # bbx # sa pamamagitan ng # theta #:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

Naglilipat #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, dahil ang R ay orthogonal

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Paglalagay ng mga huling 2 mga resulta sa # parisukat #:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW kung R ay ang matrix na diagonalises M, pagkatapos ay mayroon kaming ang equation sa mga tuntunin ng mga pangunahing axes nito para sa dayagonal eigenvector matrix D, ibig sabihin:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M Ang eigenvalues ay 36 at 16 upang maaari itong maging diagonalisado bilang:

#bb x ^ ('^ T) Dbb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #