Sagot:
# -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Paliwanag:
Magsimula sa pamamagitan ng paggamit ng sum tuntunin para sa mga integral at paghahati ng mga ito sa dalawang magkahiwalay na mga integral:
# intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx #
Ang una sa mga mini-integrals ay nalutas gamit ang pagsasama ng mga bahagi:
Hayaan # u = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# dv = e ^ (2-x) dx-> intdv = inte ^ (2-x) dx-> v = -e ^ (2-x) #
Ngayon gamit ang pagsasama ng mga bahagi ng formula # intudv = uv-intvdu #, meron kami:
# intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - xe ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) #
Ang ikalawa sa mga ito ay isang kaso ng pabalik na tuntunin ng kapangyarihan, na nagsasaad:
# intx ^ ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Kaya # int3x ^ 2dx = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
Samakatuwid, # intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (tandaan na idagdag ang pare-pareho ng pagsasama!)
Binigyan tayo ng paunang kondisyon #f (0) = 1 #, kaya:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Ang pagsasagawa ng pangwakas na pagpapalit na ito, nakukuha natin ang ating huling solusyon:
# intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
