Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Maaari mo bang malutas ito?

Sagot:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Paliwanag:

Meron kami:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (cosx - cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

Hayaan #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Nakita namin iyan #u = -1 # ay isang kadahilanan. Paggamit ng sintetikong dibisyon na nakukuha natin

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

Ang equation # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # ay maaaring malutas gamit ang parisukat na formula.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 o -0.309 #

Mula noon #cosx = u #, makuha namin #x = pi / 5, (3pi) / 5 # at # pi #.

Saan # n # ay isang integer.

Ang graph ng # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # at # y_2 = cos (3x) # Kinukumpirma na ang mga solusyon ay ang mga intersection point.

Sana ay makakatulong ito!

Sagot:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Paliwanag:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, o

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Circular unit, at ari-arian ng cos, bigyan ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

a. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Kung k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Kung k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Kung k = 0 -> #x = - pi / 5 #, o #x = (9pi) / 5 # (co-terminal)

Kung k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

Sa closed interval 0, 2pi, ang mga sagot ay:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Suriin ayon sa calculator.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = - 0.428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0.119 - 0.428 = - 309 #. Pinatunayan

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = 0.428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0.309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0.309 #. Pinatunayan

Sagot:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # nrarrZ #

Paliwanag:

# rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# rarr-cos2x = cos3x #

# rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

Alinman #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # nrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi # # nrarr #

Sagot:

Ang pangkalahatang solusyon ay hindi nangangailangan ng triple angle formula, at

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # o # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

para sa integer # k #.

Paliwanag:

Hindi ko gustong basahin ang mga sagot ng ibang tao bago ko malutas ang sarili ko. Ngunit ang isang itinatampok na sagot para sa isang ito ay bumagsak. Sa panahon ng aking mabilis na sulyap, hindi ko matulungan ang paunawa na ito ay medyo kumplikado para sa kung ano ang tingin sa akin tulad ng isang relatibong madaling tanong. Bibigyan ko ito ng isang shot.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Ako ay nasa Socratic sa loob ng ilang linggo, at ito ay umuusbong bilang aking tema: Ang pangkalahatang solusyon sa #cos x = cos a # ay #x = pm a + 360 ^ circ k quad # para sa integer # k. #

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Hiwalay ang mga palatandaan. Plus una:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Ang susunod na minus.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

Kung basahin mo ang mga malapit na ito ay maaaring isipin na nagkakamali ako sa paraan ng pagmamanipula ko # k #. Ngunit dahil # k # mga saklaw sa lahat ng mga integer, tulad ng mga pamalit #k sa -k # at #k sa k + 1 # ay pinahihintulutan at sinisira ko ang mga nasa upang panatilihin ang mga palatandaan #+# kapag sila ay maaaring maging.

Suriin:

Let's pick a couple to check. Sapat ako sa geeky na malaman #cos 36 ^ circ # ay kalahati ng Golden Ratio, ngunit hindi ko gagawin ang mga ito nang eksakto, lamang pop ang mga ito sa Wolfram Alpha upang tiyakin.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #