Paano makalkula ang kabuuan ng ito? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Isinasaalang-alang #abs x <1 #

(n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

ngunit # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # at

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # pagkatapos

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Sagot:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # kailan # | x | <1 #

Paliwanag:

Magsisimula tayo sa pagsulat ng ilan sa mga coefficients:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … =

Ang unang bagay na gusto nating tingnan ay ang mga coefficients (ang antas ng # x # ay maaaring maging madali madaling nababagay sa pamamagitan ng pagpaparami at paghahati ng serye sa pamamagitan ng # x #, kaya hindi mahalaga ang mga ito). Nakita namin na ang lahat ng ito ay mga multiple ng dalawa, upang maaari naming dalhin ang isang kadahilanan ng dalawa:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Ang mga coefficients sa loob ng panaklong ay maaaring makilala bilang ang binomial na serye na may kapangyarihan ng # alpha = -3 #:

# (1 + x) ^ alpha = 1 + alphax + (alpha (alpha-1)) / (2!) X ^ 2 + (alpha (alpha-1) (alpha-2) … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Napansin namin na ang mga exponents ng lahat ng mga tuntunin sa panaklong ay mas malaki sa pamamagitan ng dalawang kung ikukumpara sa mga serye na lamang namin nagmula, kaya kailangan naming i-multiply # x ^ 2 # upang makuha ang tamang serye:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Ito ay nangangahulugan na ang aming serye ay (kapag ito converges) katumbas ng:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Para lamang ma-verify na hindi kami nagkamali, maaari naming mabilis na gamitin ang Binomial Series upang makalkula ang isang serye para sa # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2!) X ^ 2 + ((- 3) (- 4) 5)) / (3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2 (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2 (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Maaari naming ilarawan ang pattern na ito tulad nito:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Dahil ang unang termino ay makatarungan #0#, pwede tayong magsulat:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

na kung saan ay ang serye na sinimulan namin sa, pagpapatunay ng aming mga resulta.

Ngayon kailangan lang namin upang malaman ang agwat ng tagpo, upang makita kung kailan ang serye ay talagang may halaga. Maaari naming gawin ito sa pamamagitan ng pagtingin sa mga kondisyon ng tagpo para sa binomial na serye at makita na ang serye ay nagtatagpo kung kailan # | x | <1 #