Ang bola ay bumaba nang tuwid mula sa taas na 12 talampakan. Sa pagpindot sa lupa ito ay bumabalik sa 1/3 ng distansya na ito ay nahulog. Gaano kalayo ang biyahe ng bola (kapwa paitaas at pababa) bago dumating ang pamamahinga?

Sagot:

Ang bola ay naglalakbay ng 24 talampakan.

Paliwanag:

Ang problemang ito ay nangangailangan ng pagsasaalang-alang ng walang katapusang serye. Isaalang-alang ang aktwal na pag-uugali ng bola:

Una ang bola ay bumaba ng 12 talampakan.

Susunod na ang mga bounce ng bola #12/3 = 4# paa.

Ang bola ay bumaba sa 4 na paa.

Sa bawat sunud-sunod na bounce, ang bola ay naglalakbay

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # paa, kung saan # n # ang bilang ng mga bounce

Kaya, kung isipin namin na ang bola ay nagsisimula #n = 0 #, kung gayon ang aming sagot ay maaaring makuha mula sa geometric series:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Tandaan ang #-12# term na pagwawasto, ito ay dahil kung nagsisimula tayo # n = 0 # binibilang namin ang isang 0th bounce ng 12 piye at 12 piye pababa. Sa katunayan ang bola ay naglalakbay lamang sa kalahati ng iyon, habang nagsisimula ito sa midair.

Maaari naming gawing simple ang aming kabuuan upang:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Ito ay isang simpleng geometric series, na sumusunod sa panuntunan na:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Hangga't # | r | <1 #

Nagbibigay ito ng simpleng solusyon sa aming problema:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# paa.