Gamitin ang a) at b) upang patunayan hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

Mula sa kahit anong sinasabi mo roon, ang lahat ng hitsura na dapat naming gawin ay upang ipakita iyon #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. Mukhang kahit anong lugar na iyong nakuha ang tanong na ito ay nalilito tungkol sa kahulugan ng # hatT_L #.

Tapusin natin ang pagpapatunay na ang paggamit

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

nagbibigay

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

at hindi #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. Kung nais namin ang lahat ng bagay na maging pare-pareho, pagkatapos kung #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, dapat na iyon # hatD, hatx = bb (-1) #. Naayos ko ang tanong at hinarap na iyon.

Mula sa bahagi 1, ipinakita namin na para sa kahulugan na ito (na #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

Mula noon #f (x_0 - L) # ay isang eigenstate ng # hatT_L #, ang agarang anyo na nasa isip ay isang eksponensyal na operator # e ^ (LhatD) #. Intuit namin iyon #hatD = + ihatp_x // ℏ #, at ipapakita namin na totoo iyan.

Alalahanin na sa patunay na ipinakita sa bahagi 1, isinulat namin:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

at diyan ay kailangan nating gamitin ito. Ang kailangan lang nating gawin ay Lumaki si Taylor ang exponential operator at ipakita na ang patunay sa itaas ay may hawak pa rin.

Ito ay ipinapakita rin sa liwanag na detalye dito. Pinalawak ko ito upang maging mas masinsin …

# e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = sum_ (n = 0) ^ (oo) 1 / (n! hatD) ^ n #

Bigyan iyon # L # ay isang pare-pareho, maaari naming kadahilanan na sa labas ng commutator. # hatx # maaaring pumasok, hindi nakadepende sa index. Samakatuwid:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

Ngayon, iminungkahi namin iyan #hatD = ihatp_x // ℏ #, at iyon ay may katuturan dahil alam natin na:

# (hatx, hatp_x) f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = kanselahin (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

kaya na # hatx, hatp_x = iℏ #. Ibig sabihin na hangga't #hatT_L = e ^ (LhatD) #, maaari naming wakas makakuha ng isang CONSISTENT kahulugan sa parehong mga bahagi ng problema at makakuha ng:

#color (asul) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = kulay (asul) (1) #

Mula dito, pinalawak pa namin ang commutator:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Ngayon, alam namin # hatx, hatp_x #, ngunit hindi kinakailangan # hatx, hatp_x ^ n #. Maaari mong kumbinsihin ang iyong sarili na

(df ^ (n-1) f)) #

at iyon

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

kaya na:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)

(d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - kanselahin (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))} #

(n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

# = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

Kinikilala namin iyon # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #. Kaya,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, ibinigay #n> = 1 #.

Mula dito, nakita natin:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)

kung saan kung susuriin mo ang #n = 0 # term, dapat mong makita na ito ay pumunta sa zero, kaya namin tinanggal na ito. Pagpapatuloy, mayroon tayong:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) ((iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1) #

Narito lamang namin sinusubukan upang gawing ganito ang hitsura ng pag-exponential function.

# = iℏ ((iL) / ℏ) sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(mga tuntunin ng grupo)

# = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(pag-aralan ang labas)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)

(kung # n # nagsisimula sa zero, ang # (n-1) #Ang term na ito ay nagiging # n #ika-kataga.)

Bilang resulta, sa wakas ay nakakuha kami ng:

# => kulay (asul) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = kulay (asul) (- LhatT_L) #

At muli naming bumalik sa orihinal na komutator, kaya nga

# hatx, hatT_L = -LhatT_L kulay (asul) (sqrt "") #

Sa wakas, ipakilala natin iyan # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n !)) #

Malinaw na isinusulat ito, maaari naming makita ito gumagana:

# = kulay (asul) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +… - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# ((LhatD) ^ 0) / (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +… #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +… #

# = kulay (asul) (sum_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

at mula noon # hatD # laging kumikilos sa sarili nito, # hatD ^ n, hatD = 0 # at samakatuwid,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (blue) (sqrt "") #