Kung ang isang ^ 3 + b ^ 3 = 8 at a ^ 2 + b ^ 2 = 4 ano ang halaga ng (a + b)?

Sagot:

Mayroong dalawang posibleng halaga para sa kabuuan, # a + b = 2 # (para sa # a = 2 # at # b = 0 #) o # a + b = -4 # (para sa # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}). #

Paliwanag:

Mayroong dalawang talagang hindi alam, ang kabuuan at ang produkto ng # a # at # b, # kaya hayaan #x = a + b # at #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

Dalawang equation sa dalawang unknowns, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

Iyon ay tinatawag na isang nalulumbay kubiko, at ang mga may isang medyo madaling sarado na form na solusyon tulad ng parisukat na formula. Ngunit sa halip na hawakan iyon, hulaan lang natin ang isang ugat sa pamamagitan ng oras na pinarangalan na paraan ng pagsubok ng mga maliliit na numero. Nakikita namin # x = 2 # gumagana ito # (x-2) # ay isang kadahilanan.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Maaari na tayong karagdagang salik

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Kaya may dalawang posibleng halaga para sa kabuuan, # a + b = 2 # at # a + b = -4. #

Ang unang sagot ay tumutugma sa tunay na solusyon # a = 2, b = 0 # at sa pamamagitan ng mahusay na proporsyon # a = 0, b = 2 #. Ang pangalawang sagot ay tumutugma sa kabuuan ng isang pares ng mga kumplikadong conjugates. Ang mga ito # a, b = -2 pm i sqrt {2} #. Maaari mo bang suriin ang solusyon na ito?

Sagot:

# (a + b) = 2, o, a + b = -4 #

Paliwanag:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (a + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Ngayon,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (a + b) (4-ab) = 8 #

# => (a + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (a + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Hayaan,

# (a + b) = x #

Kaya, # => x (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => x (12-x ^ 2) = 16 #

# => x ^ 3-12x + 16 = 0 #

Obserbahan iyan #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (x-2) # ay isang kadahilanan.

Ngayon, # x ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = x ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (x-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (x-2) (x + 4) (x-2) #.

#: x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2, o, x = -4 #.

#:. a + b = 2, o, a + b = -4 #.

Ang graph ay ibinigay dito.

Ang halaga ng #color (pula) ((a + b) = 2, o, -4. #

Sana makatulong ito…

Salamat…