Ano ang posibleng rational roots x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Sagot:

Ang kwintiko na ito ay walang makatwirang pinagmulan.

Paliwanag:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

Sa pamamagitan ng makatuwiran na root theorem, ang anumang mga zero ng #f (x) # ay maaaring ipahayag sa form # p / q # para sa integer #p, q # may # p # isang panghati ng pare-pareho na termino #-12# at # q # isang panghati ng koepisyent #1# ng nangungunang termino.

Nangangahulugan iyon na posible lamang makatuwiran Ang mga zero ay:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Tandaan na #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # ay may lahat ng mga negatibong coefficients. Kaya nga #f (x) # walang negatibong zero.

Kaya ang posible lamang makatuwiran Ang mga zero ay:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Pagsuri #f (x) # para sa bawat isa sa mga halagang ito, nakita nating wala ang zero. Kaya #f (x) # ay walang makatuwiran zero.

Sa karaniwan sa karamihan sa mga quintics at polynomials ng mas mataas na antas, ang zero ay hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng # n #th Roots o elementary functions, kabilang ang mga trigonometriko function.

Maaari mong gamitin ang mga numerical na paraan tulad ng Durand-Kerner upang makahanap ng mga approximations:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0.640414 + -0.877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0.716229 + -0.587964i #