Ipakita iyon, sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + .............)))) = 1 + -i?

Sagot:

Converges to # 1 + i # (sa aking calculator ng graph ng Ti-83)

Paliwanag:

Hayaan # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #

Una, Ipagpapalagay na ang walang katapusang serye ay nagtatagpo (ibig sabihin, inaako ang S na umiiral at tumatagal ang halaga ng isang komplikadong numero), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #

# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #

# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}

# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #

At kung lutasin mo ang S:

# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #

at pag-aaplay ng parisukat na formula na nakuha mo:

# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} 1 pm i #

Karaniwan ang function na square root ay tumatagal ng positibong halaga kaya # S = 1 + i #

Kung gayon, kung nagtatagpo ito pagkatapos ay dapat itong magsanib # 1 + i #

Ngayon ang lahat ng kailangan mong gawin ay patunayan na ito converges o kung ikaw ay tamad tulad ng sa akin pagkatapos ay maaari mong plug # sqrt {-2} # sa isang calculator na maaaring hawakan ang mga haka-haka na numero at gamitin ang kaugnay na pagbabalik:

# f (1) = sqrt {-2} #

# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #

Inulit ko ito ng maraming beses sa aking Ti - 83 at natagpuan na ito ay mas malapit para sa halimbawa matapos kong paulit-ulit ito sa isang lugar tulad ng 20 beses Nakatanggap ako ng humigit-kumulang

# 1.000694478 + 1.001394137i #

medyo magandang approximation