Ano ang isang pag-andar ng alon at ano ang mga kinakailangan para magawa ito nang mahusay, i.e. para ito ay maayos na kumakatawan sa pisikal na katotohanan?

Sagot:

Ang wavefunction ay isang kumplikadong pinahalagang function kung saan ang amplitude (absolute value) ay nagbibigay ng probabilidad na pamamahagi. Gayunpaman hindi ito kumikilos sa parehong paraan tulad ng isang ordinaryong alon.

Paliwanag:

Sa mekanika ng quantum, pinag-uusapan natin ang kalagayan ng isang sistema. Ang isa sa mga pinakasimpleng halimbawa ay isang maliit na butil na maaaring nasa isang pataas o pababa na magsulid, halimbawa isang elektron. Kapag sinukat natin ang pag-ikot ng isang sistema, sinusukat natin ito upang maging pataas o pababa. Ang isang estado kung saan kami ay tiyak sa kinalabasan ng pagsukat, tinatawag namin ang isang eigenstate (isa up estado # uarr # at isang pababa ng estado # darr #).

Mayroon ding mga estado kung saan tayo ay hindi tiyak sa kinalabasan ng pagsukat bago natin sukatin ito. Ang mga kalagayang ito ay tinatawag naming superposisyon at maaari naming isulat ang mga ito bilang # a * uarr + b * darr #. Narito kami # | a | ^ 2 # ang posibilidad ng pagsukat # uarr #, at # | b | ^ 2 # ang posibilidad ng pagsukat # darr #. Ang ibig sabihin nito ay siyempre # | a | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Pinapayagan namin # a, b # upang maging kumplikadong mga numero, ang dahilan para sa mga ito ay hindi agad na malinaw mula sa halimbawang ito, ngunit sa konteksto ng wavefunction ito ay mas malinaw. Sa ilalim na linya ay mayroong higit pang mga estado kaysa sa isa na nagbibigay ng parehong mga probabilidad para sa pagsukat ng mga spins.

Ngayon ay maaari naming subukan upang magtalaga ng isang function sa ito magsulid estado. Dahil mayroon lamang dalawang mga kinalabasan ng pagsukat ng pag-ikot, mayroon kaming isang function na may dalawang posibleng input lamang. Kung tawagin namin ang function # psi # (ito ay isang napaka maginoo simbolo na ginagamit para sa isang wavefuntion), kami ay naka-set #psi (uarr) = a # at #psi (darr) = b #.

Ngayon binuksan namin ang wavefunction. Ang isang aspeto ng isang maliit na butil ay siyempre lokasyon nito. Tulad ng sa kaso ng pag-ikot, maaari nating sukatin ang magkakaibang mga halaga para sa lokasyon, at maaari nating magkaroon ng mga estado kung saan ang kinalabasan ng pagsukat ay hindi naitakda muna. Dahil mayroon tayong isang hindi mabilang na halaga ng kawalang-hanggan ng mga lokasyon kung saan maaaring maging isang butil, isinulat ang estado na ito bilang # a * "here" + b * "there" # ay hindi gagawin. Gayunpaman, ang ideya ng function na ginamit namin sa itaas ay. Kaya para sa anumang lokasyon # x #, mayroon kaming isang komplikadong halaga #psi (x) #. Ang posibilidad ng density function ng particle ay ibinigay na ngayon ng # | psi (x) | ^ 2 #.

Sa lahat ng pagkamakatarungan, sa kasaysayan ang ideya ng pagkilos ng daigdig ay mas lumang kaysa sa spin, ngunit sa palagay ko ang pag-unawa sa ideya ng pag-ikot sa isang antas ay nakakatulong sa pag-unawa sa wavefunction.

Ngayon una sa lahat, bakit nagkakahalaga ang komplikadong wavefunction? Ang unang dahilan ay matatagpuan sa ideya ng panghihimasok. Ang wavefunction ng isang particle ay maaaring makagambala sa sarili nito. Ang pagkagambala ay may kinalaman sa pagdaragdag ng mga wavefunctions, kung ang wavefunctions ay nagbibigay ng parehong absolute value sa isang tiyak na punto, at pagkatapos ay ang posibilidad ng pagsukat ng isang maliit na butil sa paligid na punto ay katulad. Gayunpaman ang mga halaga ng pag-andar ay maaaring magkakaiba, kung ang mga ito ay pareho, ang pagdaragdag ng mga ito ay gagawing ang amplitude, o probabilidad density 4 (#|2|^2#) beses mas malaki (nakabubuo panghihimasok), at kung naiiba sila sa pamamagitan ng isang senyas na kontrahin nila ang bawat isa (mapanirang pagkagambala). Gayunpaman maaari ring magkaiba ang halimbawa ng isang kadahilanan # i #, ibig sabihin na ang densidad ng probabilidad ay nagiging #2# beses na mas malaki sa puntong iyon. Alam namin na maaaring maganap ang lahat ng mga interferences na ito. Kaya ang mga puntong ito patungo sa isang komplikadong nagkakahalaga ng wavefunction tulad ng inilarawan sa mas maaga.

Ang pangalawang dahilan ay matatagpuan sa equation Schrödinger. Sa una ay naisip na ang mga wavefunctions na ito ay tulad ng klasikal na alon. Gayunpaman, nang sinubukan ni Schrödinger na ilarawan ang pag-uugali ng mga alon na ito, o hindi bababa sa kanilang ebolusyon sa paglipas ng panahon, nalaman niya na ang equation na namamahala sa mga klasikal na alon ay hindi sapat. Upang magawa ito, kailangan niyang ipakilala ang isang kumplikadong numero sa equation, na humahantong sa konklusyon na ang function mismo mismo ay kumplikado pati na rin, at ang pagkakasunud-sunod ng derivatives na lumilitaw sa equation ay naiiba mula sa klasikal na equation wave.

Ang pagkakaiba sa mga equation ay sumasagot din sa iyong pangalawang tanong. Dahil ang ebolusyon ng wavefunction ay naiiba kaysa sa mga klasikong alon, hindi namin magagamit ang parehong mga pamamaraan na ginagamit namin sa klasikal na physics wave. Mayroong siyempre geometrical argumento na maaari mong gamitin, ngunit hindi ito sapat upang ilarawan ang lahat ng mga phenomena sa quantum physics. Bukod, kahit na ang wavefunction ay nagbibigay ng maraming impormasyon tungkol sa estado ng isang partikulo, ito ay walang sinasabi sa iyo tungkol sa pag-ikot nito, dahil ang mga pagmamasid na nakikita at lokasyon ay walang kaugnayan sa bawat isa.

Marahil ay binibigyang kahulugan ko kung ano ang ibig sabihin ng mali sa geometriko. Puwede ka bang magbigay ng isang halimbawa ng iyong ibig sabihin. Marahil maaari kong tulungan ka pa.

Ang pag-andar ng alon kumakatawan sa estado ng isang mekanikal na sistema ng quantum tulad ng isang atom o isang molekula.

Ito ay maaaring kinakatawan bilang alinman # psi #, ang time-independent alon ng function, o # Psi #, ang depende sa oras pag-andar ng alon.

Dahil ang alon function ay maliwanag na kumakatawan sa isang sistema na behaves tulad ng isang alon (ito ay walang pagkakataon na ito ay tinatawag na alon function!), karaniwan naming inaasahan ang isang hindi ipinagpapahintulot Ang pag-andar ng alon ay walang mga hangganan. Isaalang-alang ang katotohanan na # sinx # at # cosx #, dalawang mga function na malinaw na alon, may mga domain ng # (- oo, oo) #.

HALIMBAWA: ANG PAGSASAMA NG WAVE FOR ORBITALS

Gayunpaman, kumuha ng orbital halimbawa. Dapat mayroong isang set ng mga kondisyon ng hangganan para sa isang orbital, dahil ang mga orbital na walang alinlangan ay walang hangganang malaki.

Ang isang pag-andar ng alon ay maaaring maglarawan sa linear na kumbinasyon ng atomic orbitals upang bumuo ng molekular orbital:

#color (blue) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = kulay (asul) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) + …..) #

kung saan # c_i # ay ang Pagpapalawak ng koepisyent na nagpapahiwatig ng kontribusyon ng bawat atomic orbital sa partikular na molecular orbital na pinag-uusapan, at # phi_i ^ "AO" # ay ang experimental / trial wave function para sa bawat atomic orbital.

Dahil ang isang function ng alon ay dapat na kumakatawan sa isang orbital, dapat itong magkaroon ng isang positibong radius (#r> 0 #) at ang wave function ay dapat na solong -nagbigay, sarado , tuloy-tuloy , orthogonal sa lahat ng kaugnay na mga pag-andar ng alon, at normalizable .

Sa ibang salita, dapat itong pumasa sa vertical line test, mayroong may hangganan na lugar sa ilalim ng curve, walang jumps / discontinuities / asymptotes / breaks, at masunod ang mga sumusunod na dalawang equation:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(ang integral ng isang wave function at ang kumplikadong kondyugey nito ay #0# kung ang mga pag-andar ng wave ay iba)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(ang kabuuan ng isang pagpapaandar ng alon at ang kumplikadong conjugate ay normalized tulad na ito ay katumbas #1# kung ang wave function ay pareho bukod sa pag-sign ng # pmi #)

Ang isang halimbawa ng equation para sa wave function sa spherical coordinates para sa hydrogen atom ay:

#color (asul) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = kulay (asul) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Upang isipin, talagang ginugol ko ang oras upang gawing normal ito. Kahit na kinuha ko ang oras upang suriin para sa orthogonality sa iba pang dalawang # 2p # mga pag-andar ng alon.: P

Kung sakali, narito ang isang apendiks sa kung ano ang na-link ko sa itaas sa Scratchpads.

#' '#

Normalization ng

Ang # 2p_z # Ang atomic orbital wavefunction ay:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# / 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

Ay ang # 2p_z # wavefunction Talaga normalize? ALAMIN NATIN!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# (1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (green) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (over_br) (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?)

Ngayon, sinusuri lamang ang radial na bahagi, na kung saan ay ang nakatutuwang bahagi … hayaan ang quadruple Integration ng Mga Bahagi magsimula!

PAGLALARAWAN NG RADIAL COMPONENT OF THE FUNCTION WAVE

Bahagi 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Hayaan:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr}

Bahagi 2

Hayaan:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# ^ - ^ (- ^) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0) (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0) (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Bahagi 3

Hayaan:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0) (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Bahagi 4

Hayaan:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0) / - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0) - (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

Pagpapalawak / SIMPLIFICATION

# ^ - ^ (^ a ^) / Z ^ ^ - ^ (^ a ^) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0) (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (Zr) / (a_0))} #

# - - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0) (a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0) ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# - - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0) (a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# (- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0) a)) - - - - - - - - - - - - - - - - - (a) Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

EVALUATION-READY FORM

# (|) - (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 _ (0) ^ (oo) #

Ang unang kalahati ay maaaring mag-alis maging #0#:

# = kanselahin ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Ang pangalawang kalahati ay pinapasimple maging # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = kanselahin (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) cancel ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + cancel (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + cancel (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + cancel (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Ngayon, ipaalam sa amin muling suriin ang mga wave function bilang isang buo …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

Kanselahin ((Z / a_0) ^ 5) (kanselahin (16) kanselahin ((a_0 / Z) ^ 5)) (cancel (2) cancel (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#color (asul) (1 = 1) #

OO! ISA AY ISANG EQUAL ONE! Ibig kong sabihin…

Ang pag-andar ng wave ay talagang normal!: D

Pinapatunayan ang magkaparehong orthogonality para sa 2p wave function

Piliin natin ang sumusunod na mga wavefunctions:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

Upang ipakita na sila ay orthogonal, kailangan naming ipakita ang kahit isa sa mga ito:

#int _ ("lahat ng espasyo") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

At mula sa pagtatalaga sa tungkulin maaari naming ipahiwatig ang natitira dahil ang mga hugis sa hugis ng mga bahagi ay magkapareho. Sa ibang salita:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0)

#color (green) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Ang radial na bahagi ay lumabas # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Kaya, suriin natin ang mga bahagi ng angular.

Ang # theta # bahagi:

#color (green) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Hayaan:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = kulay (berde) (0) #

At ngayon ang # phi # bahagi:

#color (green) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - kasalanan (0) #

Hayaan:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = kulay (berde) (0) #

Samakatuwid, mayroon kaming pangkalahatang:

#color (asul) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = kanselahin (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = kulay (asul) (0) #

Mula noon

#int _ ("lahat ng espasyo") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

ang # 2p_z # at # 2p_x # Ang atomic orbitals ay orthogonal.

Talaga, ang pangunahing pagkakaiba sa paggamit ng # 2p_y # Ang equation ay sa halip ay makakakuha ka ng:

(0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

At kaya:

#color (blue) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = kulay (asul) (0) #

Mula sa pagpaparami #0# sa pamamagitan ng iba pang mga integral, kaya ang buong integral ay nawala at:

#int _ ("lahat ng espasyo") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

Kaya, ang # 2p_x # at # 2p_y # Ang atomic orbitals ay orthogonal.

Sa wakas, para sa # 2p_y # kumpara sa # 2p_z #:

(0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Alam namin ang # theta # mahalaga mula sa bago:

#color (blue) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = kulay (asul) (0) #

At kaya ang buong integral ay nawala muli, at sa katunayan ang # 2p_y # at # 2p_z # Ang orbital ay orthogonal rin!