Paano mo mahanap ang isang linear approximation sa ugat (4) (84)?

Sagot:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Paliwanag:

Tandaan na #3^4 = 81#, na malapit sa #84#.

Kaya #root (4) (84) # ay isang maliit na mas malaki kaysa sa #3#.

Upang makakuha ng isang mas mahusay na approximation, maaari naming gamitin ang isang linear approximation, a.k.a. Newton's paraan.

Tukuyin ang:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Pagkatapos:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

at binigyan ng isang tinatayang zero # x = a # ng #f (x) #, ang isang mas mahusay na approximation ay:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Kaya sa aming kaso, inilagay # a = 3 #, ang isang mas mahusay na approximation ay:

# 3 (f (3)) / (f '(3)) = 3 (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02bar (7) #

Ito ay halos tumpak sa #4# makabuluhang mga numero, ngunit quote natin ang approximation bilang #3.03#

Sagot:

#root (4) (84) ~~ 3.02778 #

Paliwanag:

Tandaan na ang linear approximation na malapit sa isang punto # a # ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Kung ibinigay: #f (x) = root (4) (x) #

pagkatapos ay isang angkop na pagpipilian para sa # a # maaring maging # a = 81 # dahil alam namin #root (4) 81 = 3 # eksakto at ito ay malapit sa #84#.

Kaya:

#f (a) = f (81) = root (4) (81) = 3 #

Gayundin;

#f (x) = x ^ (1/4) # kaya nga #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Samakatuwid maaari naming humigit-kumulang (malapit #81#):

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#tulad ng ugat (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Kaya:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Ang mas tumpak na halaga ay #3.02740#

kaya ang linear approximation ay medyo malapit.

Sagot:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Paliwanag:

Maaari naming sabihin na kami ay may isang function ng #f (x) = root (4) (x) #

at # root (4) (84) = f (84) #

Ngayon, hanapin natin ang hinango ng ating pag-andar.

Ginagamit namin ang kapangyarihan na tuntunin, na nagsasaad na kung #f (x) = x ^ n #, pagkatapos #f '(x) = nx ^ (n-1) # kung saan # n # ay isang pare-pareho.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Ngayon, upang humigit-kumulang # root (4) (84) #, sinubukan naming makita ang perpektong ikaapat na kapangyarihan na pinakamalapit sa 84

Tingnan natin…

#1#

#16#

#81#

#256#

Nakita namin iyan #81# ay ang pinakamalapit sa atin.

Nakikita na natin ngayon ang tangen na linya ng aming function kapag # x = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

Ito ang libis na hinahanap natin.

Subukan nating isulat ang equation ng tangent line sa form # y = mx + b #

Well, ano ba # y # katumbas ng kailan # x = 81 #?

Tingnan natin…

#f (81) = root (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Samakatuwid, mayroon na tayong ngayon:

# 3 = m81 + b # Alam namin na ang slope, # m #, ay #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Maaari na tayong malutas ngayon # b #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Samakatuwid, ang equation ng tangent line ay # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Ginagamit namin ngayon ang 84 sa lugar ng # x #.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># y = 7/9 + 9/4 #

=># y = 28/36 + 81/36 #

=># y = 109/36 #

=># y = 3.02bar7 #

Samakatuwid, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #