Ano ang absolute extrema ng f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x sa [0, pi / 4]?

Sagot:

absolute max: # (pi / 4, pi / 4) #

absolute min: #(0, 0)#

Paliwanag:

Ibinigay: #f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x sa 0, pi / 4 #

Hanapin ang unang hinalaw gamit ang tuntunin ng produkto nang dalawang beses.

Patakaran ng produkto: # (uv) '= uv' + v u '#

Hayaan #u = 2x; "" u '= 2 #

Hayaan #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

Para sa pangalawang kalahati ng equation:

Hayaan #u = x; "" u '= 1 #

Hayaan #v = cos (2x); "" v '= (- kasalanan (2x)) 2 = -2sin (2x) #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) #

Pasimplehin:

#f '(x) = cancel (2x sin (2x)) + 2sin ^ 2x kanselahin (-2x sin (2x)) + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

Ang Pythagorean Identity # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

Nangangahulugan ito na walang mga kritikal na halaga kung kailan #f '(x) = 0 #

Ang Absolute Maximum at minimum ay matatagpuan sa mga endpoint ng interval sa pag-andar.

Test endpoints ng function:

#f (0) = 0; "Ganap na minimum:" (0, 0) #

#f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4)

#f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2) #

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

#f (pi / 4) = pi / 4; "Ganap na maximum:" (pi / 4, pi / 4) #