Anu-ano ang mga halimbawa ng magkakasamang serye?

Sagot:

Narito ang tatlong mahahalagang halimbawa …

Paliwanag:

Geometric serye

Kung #abs (r) <1 # pagkatapos ay ang kabuuan ng geometric serye #a_n = r ^ n a_0 # ay nagtatagpo:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Pagpapalawak ng pag-andar

Ang serye sa pagtukoy # e ^ x # ay nagtatagpo para sa anumang halaga ng # x #:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Upang patunayan ito, para sa anumang ibinigay # x #, hayaan # N # maging isang integer na mas malaki kaysa sa #abs (x) #. Pagkatapos #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # Nagtatagpo dahil ito ay isang wakas na kabuuan at #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # Ang mga converge dahil ang absolute value ng ratio ng mga sunud na termino ay mas mababa sa #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Problema sa Basel

Ang problema sa Basel, na ibinunsod noong 1644 at pinag-usapan ng Euler noong 1734 ay nagtanong para sa halaga ng kabuuan ng mga katumbas ng mga parisukat ng mga positibong integer:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #

Ito ay tanong tungkol sa serye ng serye ng geometric na serye?

R = -2/7 s_oo = a / (1-r) para sa | r | <1 => (3a) / (1-r) = (a) / (1 - (- 2r)) => 3 / (1-r) = 1 / (1 + 2r) => 3 + 6r = 1 - r => r = -2/7

Si Jane, Maria, at Ben ay may isang koleksyon ng mga koleksyon ng mga lilok na yari sa marmol. Si Jane ay may 15 higit pang mga koleksyon ng mga lilok na yari sa marmol kaysa kay Ben, at si Maria ay may 2 beses na maraming mga koleksyon ng mga lilok na yari sa marmol bilang Ben Lahat sila ay may 95 mga koleksyon ng mga lilok na yari sa marmol. Gumawa ng isang equation upang matukoy kung gaano karaming mga koleksyon ng mga lilok na yari sa marmol Jane, Maria, at Ben ay may?

Si Ben ay may 20 marbles, Jane ay may 35 at si Maria ay may 40 Hayaan x ay ang halaga ng mga marbles Ben ay Pagkatapos Pagkatapos ay may x + 15 at Maria ay may 2x 2x + x + 15 + x = 95 4x = 80 x = 20 samakatuwid, ang Ben ay may 20 mga koleksyon ng mga lilok na yari sa marmol, Jane ay may 35 at Maria ay may 40

U_1, u_2, u_3, ... ay nasa Geometric progression (GP). Ang karaniwang ratio ng mga termino sa serye ay K.Ngayon matukoy ang kabuuan ng serye u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) sa anyo ng K at u_1?

Sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) Ang pangkalahatang termino ng geometric progression ay maaaring nakasulat: a_k = ar ^ (k-1) kung saan ang isang ay ang unang term at ang karaniwang ratio. Ang kabuuan sa n term ay ibinigay sa pamamagitan ng formula: s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) na kulay (puti) () Gamit ang impormasyong ibinigay sa tanong, ang pangkalahatang formula para sa u_k ay maaaring nakasulat: u_k = u_1 K ^ (k-1) Tandaan na: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) kulay (puti) (sum_ (k = 1) ^ n