Maghanap ng isang function ng vector, r (t), na kumakatawan sa curve ng intersection ng dalawang ibabaw. Ang silindro x ^ 2 + y ^ 2 = 81 at ang ibabaw z = xy?

Sagot:

Ang curve ng intersection ay maaaring parametrized bilang # (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #.

Paliwanag:

Hindi ako sigurado kung ano ang ibig mong sabihin sa pamamagitan ng function ng vector. Ngunit naiintindihan ko ito na hinahangad mong kumatawan sa curve ng interseksyon sa pagitan ng dalawang ibabaw sa pahayag ng tanong.

Dahil ang silindro ay simetriko sa paligid ng # z # axis, maaaring mas madaling ipahayag ang curve sa cylindrical coordinate.

Baguhin sa cylindrical coordinates:

#x = r cos theta #

#y = r kasalanan theta #

#z = z #.

# r # ang distansya mula sa # z # axis at # theta # ay ang counter-clockwise anggulo mula sa # x # axis sa # x, y # eroplano.

Pagkatapos ay ang unang ibabaw ay nagiging

# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #

# r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81 #

# r ^ 2 = 81 #

# r = 9 #, dahil sa Pythagorean trigonometriko pagkakakilanlan.

Ang ikalawang ibabaw ay nagiging

#z = xy #

#z = rcos theta rsin theta #

# z = r ^ 2sin theta cos theta #.

Natutunan namin mula sa equation ng unang ibabaw na ang intersecting curve ay dapat na nasa isang parisukat na distansya # r ^ 2 = 81 # mula sa unang ibabaw, na nagbibigay sa iyan

#z = 81 kasalanan theta cos theta #, #z = (81/2) sin2 theta #, isang curve na parametrized sa pamamagitan ng # theta #. Ang huling hakbang ay isang trigonometrikong pagkakakilanlan at ginagawa lamang mula sa personal na kagustuhan.

Mula sa pananalitang ito nakikita natin na ang curve ay talagang curve, dahil mayroon itong isang antas ng kalayaan.

Lahat, sa lahat, maaari naming isulat ang curve bilang

# (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #, na kung saan ay isang vector nagkakahalaga function ng isang solong variable # theta #.

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Isinasaalang-alang ang intersection ng

# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z in RR):} #

may

# C_2-> z = x y #

o # C_1 nn C_2 #

meron kami

# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #

ngayon paglutas para sa # x ^ 2, y ^ 2 # makuha namin ang parametric curves

# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} # o

# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2 -4 z ^ 2)))):} #

na totoong para sa

# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #

Nakalakip ang isang balangkas na nagpapakita ng curve ng intersection sa pula (isang dahon).