Ano ang distansya sa pagitan ng (0, 0, 8) at (9, 2, 0)?

Sagot:

Ang distansya ay #sqrt (149) #

Paliwanag:

Ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos

# (x_1, y_1, z_1) #

at

# (x_2, y_2, z_2) #

sa # RR ^ 3 # (tatlong dimensyon) ay ibinigay ng

# "distansya" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Ang paglalapat nito sa problema sa kamay, nakukuha natin ang distansya sa pagitan #(0, 0, 8)# at #(9, 2, 0)# bilang

# "distance" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149)

Ang sumusunod ay isang paliwanag kung saan nagmumula ang distansya ng pormula, at hindi kinakailangan para maunawaan ang solusyon sa itaas.

Ang layo na formula na ibinigay sa itaas ay mukhang kahina-hinala na katulad ng distansya sa pormula # RR ^ 2 # (dalawang sukat):

# "distansya" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

na kung saan ay mula sa isang simpleng application ng Pythagorean teorama, sa pamamagitan ng pagguhit ng isang karapatan na tatsulok sa pagitan ng dalawang puntos sa mga binti parallel sa # x # at # y # axes.

Ito ay lumiliko, ang # RR ^ 3 # ang bersyon ay maaaring nagmula sa isang katulad na paraan. Kung gagamitin namin (sa pinakamaraming) 3 linya upang kumonekta sa dalawang punto, magkakapit sa parallel sa # x #, # y #, at # z # axes, nakakuha tayo ng isang kahon na may mga puntos bilang tapat na sulok. Kaya, malaman kung paano kalkulahin ang distansya sa diagonal ng isang kahon.

Sinusubukan naming malaman ang haba ng pulang linya #color (pula) (AD) #

Tulad ng ito ay ang hypotenuse ng tatsulok # ABD #, mula sa Pythagorean theorem:

# (kulay (pula) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (kulay (asul) (BC)) ^ 2 #

# => kulay (pula) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (kulay (asul) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Sa kasamaang palad, wala kaming haba #color (blue) (BD) # bilang isang ibinigay. Upang makuha ito, kailangan nating muli ang Pythagorean theorem, oras na ito sa tatsulok # BCD #.

# (kulay (bughaw) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Tulad ng kailangan lang natin ang parisukat ng #color (blue) (BD) #, mapapalitan natin ngayon # ("ii") # sa # ("i") #:

#color (pula) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Sa wakas, kung mayroon tayo # A # sa # (x_1, y_1, z_1) # at # D # sa # (x_2, y_2, z_2) #, pagkatapos ay mayroon kaming mga haba

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Ang pagbibigay ng mga ito sa itaas ay nagbibigay sa amin ng nais na resulta.

Bilang isang dagdag na tala, habang maaari lamang namin madaling gawin geometric proofs sa hanggang sa 3 mga sukat, mathematicians ay may pangkalahatan distansya sa # RR ^ n # (# n # dimensyon). Ang distansya sa pagitan

# (x_1, x_2, …, x_n) # at # (y_1, y_2, …, y_n) # ay tinukoy bilang

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

na tumutugma sa pattern mula sa # RR ^ 2 # at # RR ^ 3 #.