Ito ay isang trigonometriko patunay ng isang pangkalahatan kaso, ang tanong ay nasa kahon ng mga detalye?

Sagot:

Ang katunayan ng induksiyon ay nasa ibaba.

Paliwanag:

Patunayan natin ang pagkakakilanlan na ito sa pamamagitan ng induction.

A. Para # n = 1 # kailangan nating suriin iyon

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Sa katunayan, gamit ang pagkakakilanlan #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, nakikita natin iyan

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

mula sa kung saan sumusunod na

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Kaya, para # n = 1 # totoo ang aming pagkakakilanlan.

B. Ipagpalagay na ang pagkakakilanlan ay totoo # n #

Kaya, inaakala natin iyan

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j in 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1

(simbolo # Pi # ay ginagamit para sa produkto)

C. Paggamit ng palagay B sa itaas, hayaan patunayan ang pagkakakilanlan para sa # n + 1 #

Kailangan nating patunayan na mula sa palagay ni B ang sumusunod

# (2cos (2 ^ (n +1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j in 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1

(pansinin na ang tamang hangganan para sa isang indeks ng pagpaparami ay # n # ngayon).

Patotoo

Paggamit ng pagkakakilanlan #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # para sa # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n +1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ nta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Hatiin ang simula at pangwakas na mga expression sa pamamagitan ng # 2cos (theta) +1 #, pagkuha

# 2cos (2 ^ (n +1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Ngayon ginagamit namin ang pagkuha B pagkuha

# 2cos (2 ^ (n +1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j in 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j sa 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(mapansin ang hanay ng isang index ngayon ay pinalawig sa # n #).

Ang huling formula ay eksaktong pareho para sa # n + 1 # bilang orihinal ay para sa # n #. Na natapos ang patunay sa pamamagitan ng induction na ang aming formula ay totoo para sa anumang # n #.

Sagot:

Tingnan ang Seksyon sa Patunay sa Paliwanag sa ibaba.

Paliwanag:

Katumbas ito upang patunayan na, (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "Ang L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1)

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "ang R.H.S." #

Tangkilikin ang Matematika.!