Sagot:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # para sa #b sa RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # para sa #b = | b | e ^ (itheta) sa CC #
Paliwanag:
Sa pamamagitan ng pangunahing teorema ng algebra, maaari nating iakma ang ibinigay na pagpapahayag bilang
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #
kung saan bawat isa # alpha_k # ay isang ugat ng # x ^ 8 + b ^ 8 #.
Paglutas para sa # alpha_k #, makuha namin
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | b | (-1) ^ (1/8) # (assuming #b sa RR #)
# = | b | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k sa ZZ #
Bilang #k sa {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # mga account ng lahat ng mga natatanging halaga ng form na iyon, makuha namin ang aming factorization bilang, para sa #b sa RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
Para sa isang mas pangkalahatang #b sa CC #, kung gayon inaakala #b = | b | e ^ (itheta) #, maaari naming pumunta sa pamamagitan ng katulad na mga kalkulasyon upang mahanap
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #
ibig sabihin
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) #
Paumanhin, binabalewala ko ang ilang mga menor de edad na detalye, ang sagot na ibinigay ng sente ay tama.
Pag-iisip #b ne 0 # at # a, b sa RR # meron kami
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # pagkatapos
# a / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # pagkatapos
# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # ay ang # k = 0,1, cdots, 7 # mga ugat o mga salik.
Tukuyin
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
at pagkatapos
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
kaya nga
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # na may tunay na coefficients.
