Paano isama ang int x ^ lnx?

Sagot:

(x) +1 / 2) + C #

Paliwanag:

Nagsisimula kami sa isang u-pagpapalit sa # u = ln (x) #. Pagkatapos ay hinati natin ang pinagmulan ng # u # upang isama ang may paggalang sa # u #:

# (du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Ngayon kailangan nating malutas # x # sa mga tuntunin ng # u #:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

Maaari mong hulaan na wala itong elementary anti-derivative, at gusto mong maging tama. Gayunpaman maaari naming gamitin ang form para sa mga haka-haka error function, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Upang makuha ang aming integral sa pormularyong ito, maaari lamang namin magkaroon ng isang kwalipikadong variable sa exponent ng # e #, kaya kailangan namin upang makumpleto ang parisukat:

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2) du #

Ngayon maaari naming ipakilala ang isang u-pagpapalit sa # t = u +1 / 2 #. Ang hinango ay lamang #1#, kaya hindi namin kailangang gumawa ng anumang bagay na espesyal na isama sa paggalang # t #:

# ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + C #

Ngayon maaari naming i-undo ang lahat ng mga pamalit upang makakuha ng:

# ng ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2)