Ano ang haba ng arko ng r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) sa lata [1, ln2]?

Sagot:

Haba ng arko #~~ 2.42533 # (5dp)

Ang haba ng arko ay negatibo dahil sa mas mababang hangganan #1# mas malaki kaysa sa itaas na hangganan ng # ln2 #

Paliwanag:

Mayroon kaming isang parametric function na vector, na ibinigay ng:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Upang makalkula ang arc-length ay hihilingin namin ang derivative ng vector, na maaari naming kalkulahin gamit ang tuntunin ng produkto:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Pagkatapos ay tinutukoy namin ang magnitude ng nalikhang vector:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

(2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Pagkatapos ay maaari naming kalkulahin ang arc-length gamit ang:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

# = int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4)

Ito ay malamang na hindi natin maituturing ang integral na ito gamit ang analytical technique, kaya sa halip ay gumagamit ng Mga Paraan ng Numerikal na nakakuha tayo ng isang approximation:

# L ~~ -2.42533 # (5dp)

Ang haba ng arko ay negatibo dahil sa mas mababang hangganan #1# mas malaki kaysa sa itaas na hangganan ng # ln2 #