Patunayan ang sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Sagot:

Sa Paliwanag

Paliwanag:

Sa isang normal na eroplanong coordinate, mayroon kaming coordinate na tulad ng (1,2) at (3,4) at mga bagay tulad nito. Maaari naming muling maipakita ang mga coordinate n term na ito ng radii at angles. Kaya kung mayroon tayo ng punto (a, b) na nangangahulugan na pumunta kami ng mga yunit sa kanan, b yunit at #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # bilang ang distansya sa pagitan ng pinagmulan at ang punto (a, b). tatawag ako #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Kaya mayroon kami # re ^ arctan (b / a) #

Ngayon upang tapusin ang katibayan na ito ay ipaalaala sa isang formula.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Ang function ng arc tan ay nagbibigay sa akin ng isang anggulo na kung saan ay theta din.

Kaya mayroon kaming mga sumusunod na equation:

(b / a) = cos (arctan (b / a)) + kasalanan (arctan (b / a)) #

Hinahayaan ka ngayon na gumuhit ng tamang tatsulok.

Ang arctan ng (b / a) ay nagsasabi sa akin na ang b ay ang kabaligtaran na bahagi at ang ay nasa katabing bahagi. Kaya kung gusto ko ang cos ng arctan (b / a), ginagamit namin ang Pythagorean teorama upang mahanap ang hypotenuse. Ang hypotenuse ay #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Kaya ang cos (arctan (b / a)) = katabi sa hypotenuse = # a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Ang pinakamagandang bahagi tungkol dito ay ang katunayan na ang parehong prinsipyong ito ay nalalapat sa sine. Kaya kasalanan (arctan (b / a)) = kabaligtaran sa hypotenuse = # b / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Kaya ngayon maaari naming muling ipahayag ang aming sagot bilang na ito: #r * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Ngunit tandaan #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # kaya ngayon kami ay may: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. Kinansela ang r, at natitira ka sa mga sumusunod: # a + bi #

Samakatuwid, # (re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #