Maaari bang patunayan ng sinuman ito?

Sagot:

Gamitin ang sine law para sa mga triangles at ilang simpleng trigonometriko identities.

Paliwanag:

Mula sa sine law of triangles

# a / {sin A} = b / {sin B} = c / {sin C} #

madali naming makita iyan

# sinuman ^ 2B-sin ^ 2C} / sin ^ 2A = {(sin B-sinC) (sin B + kasalanan C)} / {sin ^ 2A} = 2 sin ({B + C} / 2) beses 2 sin ({B + C} / 2) cos ({BC} / 2)} / sin ^ 2A = {sin (BC) kasalanan (B + C)} / sin ^ 2A = {kasalanan (BC) kasalanan (pi-A)} / sin ^ 2A = sin (BC) / sinA #

Kaya nga

# b ^ 2 -c ^ 2} / a ^ 2 beses sin2A = 2cosAsin (B-C) = 2 cosAsinBcosC-2cosAcosBsinC #

Ang iba pang dalawang termino ay maaaring makuha mula sa isang ito sa pamamagitan lamang ng cyclically permuting # A #, # B # at # C #. Ang pagdaragdag ng tatlong termino ay humahantong sa katibayan ng trivially.

Sagot:

Mangyaring tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Ang unang termino ng # LHS = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A #

# = (4R ^ 2 sin ^ 2A-sin ^ 2B) / (4R ^ 2 * sin ^ 2A) * sin2A #

# = (kasalanan (B + C) kasalanan (B-C)) / sin ^ 2A * sin2A #

# = (sinAsin (B-C)) / (sinA * sinA) * 2sinA * cosA #

# = 2cosAsin (B-C) #

# = kasalanan (A + B-C) -in (A-B + C) #

# = sin (pi-2C) -in (pi-2B) = sin2C-sin2B #

Katulad nito Ang ikalawang termino# = sin2A-sin2B # at

Ang ikatlong termino# = sin2B-sin2A #

Buong # LHS = sin2C-sin2B + sin2A-sin2C + sin2B-sin2C = 0 #

Tandaan na # sin ^ 2A-sin ^ 2B = kasalanan (A + B) * kasalanan (A-B) #

Sagot:

Mabait sumangguni sa Paliwanag.

Paliwanag:

Mga Kinakailangan: Sa karaniwang notasyon para sa # DeltaABC, #

Sine-Rule: # a / sinA = 2R, o, sinA = a / (2R) #.

Cosine-Rule: # cosA = (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / (2bc) #.

Meron kami, # (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * (2sinAcosA) #, # = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * {2 * a / (2R) * (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / (2bc),

# = {(b ^ 2-c ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2)} / (Rabc) #, # = {(b ^ 2-c ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2) -a ^ 2 (b ^ 2-c ^ 2)} / (Rabc) #, #rArr (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A = {(b ^ 4-c ^ 4) -a ^ 2 (b ^ 2-c ^ 2)} / (Rabc) #.

Pagkuha ng mga katulad na expression para sa natitirang mga tuntunin ng kaliwa

miyembro at pagdaragdag sa kanila, ang resulta ay sumusunod.