Sagot:
Pahiwatig 1: Ipagpalagay na siya ang equation # x ^ 2 + x-u = 0 # may # u # isang integer ay mayroong integer solution # n #. Ipakita iyan # u # ay kahit na.
Paliwanag:
Kung # n # ay isang solusyon na mayroong isang integer # m # tulad na
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
Saan #nm = u # at # m-n = 1 #
Ngunit ang ikalawang ekwasyon ay nangangahulugang iyon #m = n + 1 #
Ngayon, pareho # m # at # n # ay integer, kaya isa sa # n #, # n + 1 # ay kahit na at #nm = u # ay kahit na.
Proposisyon
Kung # u # ay isang kakaibang integer, at pagkatapos ay ang equation # x ^ 2 + x - u = 0 # ay walang solusyon na isang integer.
Katunayan
Ipagpalagay na mayroong isang integer solution # m # ng equation:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
kung saan # u # ay isang kakaibang integer. Dapat nating suriin ang dalawang posibleng mga kaso:
# m # ay kakaiba; o
# m # ay kahit na.
Una, isaalang-alang natin ang kaso kung saan # m # ay kakaiba, may umiiral na isang integer # k # tulad na:
# m = 2k + 1 #
Ngayon, dahil # m # ay isang ugat ng aming equation, ito ay dapat na:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
At mayroon tayong kontradiksyon, tulad ng # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # ay kahit na, ngunit # u # ay kakaiba.
Susunod, isaalang-alang natin ang kaso kung saan # m # ay kahit na, may umiiral na isang integer # k # tulad na:
# m = 2k #
Katulad nito, dahil # m # ay isang ugat ng aming equation, ito ay dapat na:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
At, muli, mayroon tayong kontradiksyon, bilang # 2 (2k ^ 2 + k) # ay kahit na, ngunit # u # ay kakaiba.
Kaya napatunayan namin na walang integer na solusyon sa equation # x ^ 2 + x - u = 0 # kung saan # u # ay isang kakaibang integer.
Kaya ang panukala ay pinatunayan. QED
Sagot:
Tingnan sa ibaba.
Paliwanag:
Kung # x ^ 2 + x-u = 0 # pagkatapos
#x (x + 1) = u # pagkatapos kung # x # ay isang integer, #x (x + 1) # ay kahit na, pagiging isang pagkakasalungatan dahil # u # sa pamamagitan ng teorya ay kakaiba.
