Sagot:
Tingnan ang paliwanag …
Paliwanag:
Kung # p = q = r # pagkatapos ay:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Kaya ang anumang mga zero na mayroon sila ay magiging karaniwan.
Tandaan na ang mga kundisyong ito ay hindi kinakailangan.
Halimbawa, kung # p = 0 #, #q! = 0 # at #r! = 0 # pagkatapos ay:
# px ^ 2 + qx + r = 0 # May ugat # x = -r / q #
# qx ^ 2 + rx + p = 0 # May mga ugat # x = -r / q # at # x = 0 #
Kaya ang dalawang equation ay may isang ugat sa karaniwan, ngunit #p! = q # at hindi kami nangangailangan # p + q + r = 0 #.
Sagot:
Mangyaring tingnan sa ibaba.
Paliwanag:
Bilang # px ^ 2 + qx + r = 0 # at # qx ^ 2 + rx + p = 0 # magkaroon ng karaniwang ugat, hayaan ang root na ito # alpha #. Pagkatapos
# palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # at # qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
at kaya # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
at # alpha = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # at # alpha ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
i.e. # (qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
o # (qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
o # q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #
o # p ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # at paghahati sa pamamagitan ng # p #
o # p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
i.e. # (p + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #
Kaya alinman # p + q + r = 0 # o # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
Obserbahan na bilang # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
(alpha ^ 2 + alpha + 1) / (p ^ 2) 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #
at kung # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, meron kami # alpha ^ 2 + alpha + 1 = 0 # i.e. # p = q = r #
