Ipagpalagay na mayroong batayan para sa at isang tiyak na bilang ng mga sukat para sa subspace W sa RR ^ 4. Bakit ang bilang ng mga dimensyon 2?

Sagot:

4 na dimensyon minus 2 mga hadlang = 2 sukat

Paliwanag:

Ang ika-3 at ang ika-apat na coordinate ang tanging independiyenteng mga bagay. Ang unang dalawa ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng huling dalawa.

Sagot:

Ang dimensyon ng isang subspace ay nagpasya sa pamamagitan ng mga base nito, at hindi sa pamamagitan ng sukat ng anumang puwang ng vector ito ay isang subspace ng.

Paliwanag:

Ang dimensyon ng isang puwang ng vector ay tinukoy sa pamamagitan ng bilang ng mga vectors sa batayan ng espasyo na iyon (para sa walang katapusan na puwang ng dimensyon, ito ay tinukoy ng cardinality ng isang batayan). Tandaan na ang kahulugan na ito ay pare-pareho dahil maaari naming patunayan na ang anumang batayan ng isang vector puwang ay magkakaroon ng parehong bilang ng mga vectors bilang anumang iba pang batayan.

Sa kaso ng # RR ^ n # alam natin iyan #dim (RR ^ n) = n # bilang

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

ay isang batayan para sa # RR ^ n # at may # n # mga elemento.

Sa kaso ng #W = s, t sa RR # maaari naming isulat ang anumang elemento # W # bilang #svec (u) + tvec (v) # kung saan #vec (u) = (4,1,0,1) # at #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Mula dito, mayroon tayo # {vec (u), vec (v)} # ay isang spanning set para sa # W #. Dahil #vec (u) # at #vec (v) # ay malinaw na hindi scalar multiples ng bawat isa (tandaan ang mga posisyon ng #0#s), ibig sabihin iyan # {vec (u), vec (v)} # ay isang linearly independent spanning set para sa # W #, iyon ay, isang batayan. Dahil # W # may batayan sa #2# sangkap, sinasabi namin iyan #dim (W) = 2 #.

Tandaan na ang dimensyon ng isang puwang ng vector ay hindi nakasalalay sa kung ang mga vectors nito ay maaaring umiiral sa iba pang mga puwang ng vector ng mas malaking dimensyon. Ang tanging ugnayan ay kung kung # W # ay isang subspace ng # V # pagkatapos #dim (W) <= dim (V) # at #dim (W) = dim (V) <=> W = V #