Ano ang formula upang mahanap ang lugar ng isang regular na dodecagon?

Sagot:

#S _ ("regular dodecagon") = (3 / (kayumanggi 15 ^ @)) "gilid" ^ 2 ~ = 11.196152 * "gilid" ^ 2 #

Paliwanag:

Pag-iisip ng isang regular na dodecagon na naka-inscribe sa isang bilog, maaari naming makita na ito ay nabuo sa pamamagitan ng 12 isosceles triangles na ang panig ay radius ng bilog, radius ng bilog at dodecagon's side; sa bawat isa sa mga triangles ang anggulo na sumasalungat sa bahagi ng dodecagon ay katumbas ng #360^@/12=30^@#; ang lugar ng bawat isa sa mga triangles ay # ("gilid" * "taas) / 2 #, kailangan lamang namin upang matukoy ang taas na patayo sa gilid ng dodecagon upang malutas ang problema.

Sa nabanggit na isosceles triangle, na ang base ay ang dodecagon's side at na ang pantay na panig ay ang radii ng bilog, na anggulo laban sa base (# alpha #ay katumbas ng #30^@#, mayroon lamang isang linya na iguguhit mula sa kaitaasan kung saan nakikita ang radii ng bilog (point C) na intercepts perpendicularly ang dodecagon ng gilid: linya na ito bisects ang anggulo # alpha # pati na rin ang tumutukoy sa taas ng tatsulok sa pagitan ng point C at ang punto kung saan ang base ay naharang (point M), pati na rin ang pagbubukod ng base sa dalawang magkatulad na bahagi (lahat dahil ang dalawang mas maliit na triangles na nabuo ay congruents).

Dahil ang dalawang mas maliliit na triangles na binanggit ay tama na matutukoy natin ang taas ng isosceles triangle sa ganitong paraan:

#tan (alpha / 2) = "laban sa cathetus" / "katabing cathetus" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("gilid" / 2) / "taas" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Pagkatapos ay mayroon kami

(2) kumandong 15 ^ @ 2 * tanawin =) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("side") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #