Paano nakahanap ka ng representasyon ng kapangyarihan serye para sa (arctan (x)) / (x) at kung ano ang radius ng convergence?

Sagot:

Isama ang serye ng kapangyarihan ng hinangong ng #arctan (x) # pagkatapos ay hatiin sa pamamagitan ng # x #.

Paliwanag:

Alam namin ang representasyon ng kapangyarihan serye ng # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # tulad na #absx <1 #. Kaya # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Kaya ang kapangyarihan serye ng #arctan (x) # ay (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Ibahagi mo ito sa pamamagitan ng # x #, nalaman mo na ang serye ng kapangyarihan ng #arctan (x) / x # ay #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Sabihin nating #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Upang mahanap ang radius ng tagpo ng serye ng kapangyarihan na ito, sinusuri namin #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

(2) + (2n + 2) / (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Kaya kung gusto natin ang serye ng kapangyarihan na magtipon, kailangan natin #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, kaya ang serye ay magkasalubong kung #absx <1 #, na kung saan ay hindi nakakagulat dahil ito ay ang radius ng tagpo ng kapangyarihan serye na representasyon ng #arctan (x) #.