Ipagpalagay na may mga Martians & n Earthlings sa isang pagpupulong ng kapayapaan. Upang matiyak na ang mga Martian ay mananatiling tahimik sa kumperensya, kailangan nating tiyakin na walang dalawang Martians ang umupo nang magkasama, upang ang pagitan ng alinmang dalawang Martians ay mayroong hindi bababa sa isang Earthling (tingnan ang detalye)

Sagot:

a) # (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) # (n! (n-1)!) / ((n-m)!) #

Paliwanag:

Bilang karagdagan sa ilang dagdag pang pangangatwiran, gagamitin namin ang tatlong karaniwang pamamaraan para sa pagbibilang.

Una, gagamitin natin ang katotohanan na kung mayroon # n # mga paraan upang gawin ang isang bagay at # m # mga paraan upang gawin ang isa pa, kung ipagpalagay na ang mga gawain ay malaya (kung ano ang maaari mong gawin para sa isa ay hindi umaasa sa kung ano ang iyong ginawa sa isa pa), may mga # nm # mga paraan upang gawin ang pareho. Halimbawa, kung mayroon akong limang kamiseta at tatlong pares ng pantalon, pagkatapos ay mayroong #3*5=15# outfits ang maaari kong gawin.

Ikalawa, gagamitin namin ang bilang ng mga paraan ng pag-order # k # ang mga bagay ay #k! #. Ito ay dahil mayroong # k # mga paraan ng pagpili ng unang bagay, at pagkatapos # k-1 # mga paraan ng pagpili ng pangalawang, at iba pa at iba pa. Kaya ang kabuuang bilang ng mga paraan ay # k (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

Sa wakas, gagamitin namin ang bilang ng mga paraan ng pagpili # k # mga bagay mula sa isang hanay ng # n # ang mga bagay ay # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (binibigkas bilang n pumili k). Isang balangkas ng kung paano dumating sa formula na ito ay ibinigay dito.

a) Kung binale-wala natin ang mga hating sa umpisa, may mga #m! # mga paraan upang mag-order ng mga Martian at #n! # mga paraan upang mag-order ng Earthlings. Sa wakas, kailangan nating makita kung saan inilalagay ang mga Martian. Tulad ng bawat Martian ay kailangang ilagay alinman sa isang dulo o sa pagitan ng dalawang Earthlings, may mga # n + 1 # mga lokasyon na maaari nilang umupo (isa sa kaliwa ng bawat Earthling, at pagkatapos ay isa pa sa malayo sa kanan). Tulad ng mayroon # m # Martians, ibig sabihin na mayroon # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) # posibleng mga paraan upang ilagay ang mga ito. Kaya ang kabuuang posibleng pag-aayos ng seating ay

(n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) Ang problemang ito ay katulad ng sa itaas. Upang gawing mas simple ang mga bagay, pumili tayo ng Earthling at tawagan siya ang pangulo. Dahil hindi mahalaga kung paano ang isang bilog ay pinaikot, sa halip na tumutukoy sa mga kaayusan sa pag-upo batay sa ganap na pag-order, tatalakayin natin ang mga pag-aayos sa pag-upo batay sa kaugnayan nila sa pangulo.

Tulad ng nasa itaas, kung magsisimula tayo mula sa pangulo at magpapatuloy sa paikot sa paligid ng bilog, maaari nating bilangin ang bilang ng mga paraan ng pag-order ng mga natitirang dadalo. Tulad ng mayroon # m # Martians at # n-1 # natitirang Earthlings, mayroong #m! # mga paraan upang mag-order ng mga Martian at # (n-1)! # mga paraan upang mag-order ng mga natitirang Earthlings.

Susunod, kailangan nating muli ang posisyon ng mga Martian. Sa pagkakataong ito wala kaming karagdagang lugar sa dulo, kaya't mayroon lamang # n # mga lokasyon na maaari nilang umupo. Pagkatapos ay may # ((n), (m)) = (n!) / (m! (n-m)!) # mga paraan upang ilagay ang mga ito. Kaya ang kabuuang posibleng pag-aayos ng seating ay

# (n-1)! m! (n!) / (m! (n-m)!) = (n! (n-1)!) / ((n-m)!)